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préalable une transformation de contact convenable, supposer ces équa- 

 tions ramenées à la forme 



(0 



x' = X (x, y, z, p, q), / = Y (x, y, z, p, q), 

 p' = P (x, y, z, p, q), 7' = Q {x, y, z, p, q), 



les fonctions X, Y, P, Q dépendant des cinq variables x, y, c, p, q. 



» Eli écrivant que p' (i v' -\- q' dy' est une différentielle exacte, on est 

 encore conduit à une équation du second ordre de Monge-Ampére, que 

 nous écrirons, en conservant les notations de la Note précédente, 



(2) ^p<,('t - S-) + ^y/.r + R.r^/ + S,,+ R^, = o. 

 » Pour avoir les expressions de ces coefficients, posons 



(3) P rfX + Q d\ = F, rlx + F, dy -hf.dp-^ F, dq, 

 en remplaçant, dans dX et r/Y, dz par pdx -h q dy, et soit 



les coefficients R^^, R^^, Ra^y, R^y, S ont les valeurs suivantes : 



' Ti _ ^^ _ ^» R -^ll - ^ 



'"! " dq dp ' ''' dy dp ' 



, (9F, f/Fi ,, dF, rfFj 



g__JF^_JF2 àF, dF, 

 \ dy ôcj dp dx 



» 2. L'équalion (2) étant donnée, pour que les équations précédentes 

 soient compatibles en F,, Fj, F3, F^, il faut et il suffit que les coeffi- 

 cients Rj,, R^y, R^^, a^ç, S vérifient les cinq relations suivantes : 



d_ /dR^\ _^ jL(^ui) = "''^W ^ ''' '<A.7 _ "'S, 

 dy \ dp ) dx \ à(j I dp dq dx dy dz ' 



A f^\ ^ l^Iv? ^ ± f<^^yr\ ^ ^x, y[_ {dnyj,\ _ ^ dRy, 

 dy\dp) dy-" '^ dx\dp ) dp' dy\ dq ) " d: ' 



d fdS\ , rf^Rp, d /'dK^\ d'R:,, . d /'àn^^\ _dR;,^ 



\'^) { ^ .À A„ "+■ ,/,.2 "*" ^,. -)„ A.,' ~^ ^r-\ r)r, ) '"^ 



dx.\dq/ dx- dy \ dq j dq' dx\ dp ) dz 



d'S ^ d fdRj„\ ^ cl_ (d^^\ _ d' \\^„ _^ (J'H,„ _ 2 — 



)- dp' 



PI 



dp Oq dy \ dq / dx \ dp J dp' dq- dz 



d-S d-Wyp d' R^^ _ d /dRjcy\ d / t9Rjy \ _ dH^^ 



dx dy dx- dy'' dx\ dp ) ^y\ dq ) dz 



