SÉANCE DU 20 MAI 1902. Il3l 



Commission chargce de présenter une question de prix Alhuniherl pour 

 Vannée kjoj. — MM. Darboux, Bouquet de la Grye, Berthelot, Gaudry, 

 Maurice Levy. 



CORRESPONDANCE. 



M. E. vo\ Leyden adresse ses remercîments à l'Académie, pour le témoi- 

 gnage de sympathie qu'elle lui a fait parvenir à l'occasion de son 70* anni- 

 versaire. 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur les propriétés arithmétiques des fonctions 

 entières et quasi entières. Note de M. Eduond Maillet, présentée par 

 M. G. Jordan. 



« Les polynômes F(a;) à coefficients rationnels jouissent de diverses 

 propriétés que l'on pourrait chercher à étendre aux fonctions entières et 

 quasi entières (' ). Ainsi : 



» i" Le produit de deux polynômes à coefficients rationnels a ses coef- 

 ficients rationnels; 2" si x est rationnel ou algébrique, F(a;) l'est égale- 

 ment; 3° si h est rationnel ou algébrique, Y (^x -\- b) ordonné suivant les 

 puissances croissantes de x a ses coefficients rationnels ou algébriques. 



» Dans quelle mesure ces propriétés subsistent-elles pour les fonctions 

 entières ou quasi entières ? Sans traiter complètement la question, nous 

 avons pu la résoudre dans des cas suffisamment étendus pour voir que ces 

 propriétés ne subsistaient probablement pas, sauf peut-être la première, 

 pour les fonctions entières. 



1° Fonctions entières. 



» On sait que e^ — « = o (a algébrique) a toutes ses racines transcen- 

 dantes (Lindemann). c'"^*, où b est rationnel, a tous ses coefficients trans- 



cendants. De même, si X (j?) = 2 ~ ^' C'^" entier limité, <„ entier croissant 







suffisamment vite avec n), X(a:) est transcendant quand x est algébrique. 

 Mais le produit de deux fonctions entières à coefficients rationnels a ses 

 coefficients rationnels. 



(') Pour la définition de ce mot, voir Comptes rendus, 17 février 1902. 



