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ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur les rayons de convergence cl' une série double . 

 Note de M. Eugène Fabry, présentée par M. H. Poincaré. 



Soit une série 



M. Lemaire a montré (Bulletin des Sciences mathématiques, 1896) comment 

 on peut obtenir des systèmes de rayons de convergence associés. Si 1 est 

 la plus grande limite de \/\ a^ ^ | /c'', lorsque p + q devient infini, on a les 

 rayons de convergence X = r-, Y z= -. Jq me propose de montrer que les 



divers systèmes que l'on obtient en faisant varier k sont liés par certaines 

 lois très simples. 



» Tant que k ]> o, on a >. > o, car autrement la série serait convergente 

 pour toutes les valeurs finies de a; et^. Soit k'"^ k^ o, "k'^l >>o et X'Y', 

 XY les systèmes que l'on en déduit. On a ' 



""^KjF'<^"7^^;:j^ et v<4. 



» Donc, si 



r y 

 X' ^ x' 

 on a 



X'<X, Y'>Y 



et si XY, X' Y' sont deux systèmes quelconques de rayons associés, on a 



(X' — X)(Y'- Y)<o. 



» Cette inégalité résulte, du reste, immédiatement de la remarque sui- 

 vante : pour que X, Y soient des rayons de convergence associés, il faut et 



il suffit que la plus grande limite de \/\ a^,^ | X'' Y^, lorsque p + q devient 

 infini, soit égale à r. 



» Soient ^">- k"^ k >> o, 1" la^limite supérieure, et X"Y" le système de 

 rayons associés qui correspondent à k". On a 



r>v>x >o. 



