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» En particulier, si X' = X" et Y' < Y", on a toujours X = \' lorsque 

 Y < Y". 



» On peut encore obtenir l'ensemble des rayons associés comme enve- 

 loppe d'une droite mobile. Supposons que — — reste compris entre a — s 

 et a -4- £, où o < a < r, i tendant vers o lorsque yo 4- ç devient infini ; /?sera, 

 par exemple, compris entre v.(p + q)± sjp -\- q. Soit alors X la plus 

 grande limite de ''^lj\'â^\, celle de """v^ja/,, J X^Y? sera 7.X«Y' -^ et pour 

 tout système XY on a 



alogX + (i " ot) logY + Iog).<o. 



En faisant varier « entre o et i , on a une série de droites dont l'enveloppe 

 donne les systèmes de rayons associés. Cette enveloppe peut comprendre 

 des courbes et des portions de droites. Dans ce dernier cas, il y a une infi- 

 nité de systèmes liés par une relation de la forme X" Y'~°' = C, où X varie 

 entre deux limites déterminées. En généralisant les méthodes de recherche 

 des points singuliers pour les séries simples, on arrive, dans ce cas, au 

 théorème suivant : 



» Si la série a des rayons de convergence liés par la relation X" Y'"" = C, 

 où X' <C X << X", soit X,Y, l'un de ces systèmes; si le point a; = X,e'"', 

 y = Y,e"'' n'est pas singulier, le point d'arguments ww' n'est singulier sur 

 aucun de ces systèmes. De sorte que les points singuliers situés sur ces circonfé- 

 rences de convergence ont les mêmes arguments. 



» Si, X = X' reste constant, lorsque Y < Y', il y a un point x = X' e"' sin- 

 gulier quel que soit y. Si v^l «/,,,! lend vers o, sauf pour des suites telles 

 que — — tende vers o, X reste constant quel que soit Y. Si cela n'a pas lieu, 



Xpeut tendre vers o et l'on peut distinguer trois cas : 



» 1° Si à partir d'une valeur deX,Y := Y' reste constant, il y a un point 

 y = Y' e'^' singulier quel que soit x ; 



» 2" Lorsque X tend vers o, si Y tend vers une limite finie Y', il y a un 

 point singulier x = o, y= Y'e"', mais x = o; y n'est pas singulier lorsque 



M SiY augmente indéfiniment lorsque X tend vers o, a? = o; j n'est jamais 

 singulier lorsque y est fini, mais le point x = o, y :^ ce est singulier. » 



