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forme quadratique ternaire en c, y, z qui doit être posilwe pour que les 

 fonctions abéliennes, correspondant aux périodes considérées, existent. 

 Celte forme s'écrit 



AoX--f- A, r- + A22-H-S,,aj+ S„,.r; + S,, vô; 



elle ne change donc pas si l'on opère 9,\iv f^, f^, f\ une même transfor- 

 mation du premier ordre d'Hermite; elle se change en une forme propre- 

 ment ou improprement équivalente si l'on remplace le système (i) par un 

 système arilhmétiqiiement équivalent. D'après cela, à tout système (i) 

 répond une classe de formes quadratiques ternaires positives, proprement 

 ou improprement équivalentes entre elles. 



» D'ailleurs, la forme (F) n'est pas une forme ternaire positive quel- 

 conque, car, en vertu de son expression même, 4F est représentable pro- 

 prement par la forme X^ — 4 YZ — 4TU, propriété qui n'appartient pas à 

 toute forme ternaire. Dans ce qui suit, on désignera par (F) les formes 

 de ce type, et les théories générales classiques permettront toujours de 

 reconnaître si une forme ternaire donnée est une forme (F). 



» II. Réciproquement, une classe Ae ïor mes (i^), primilives, étant don- 

 née, à quels types peut-on réduire, par des transformations du premier 

 ordre des périodes, les systèmes (i) qui lui donnent naissance? Nous sup- 

 poserons, pour simplifier, que les formes de la classe n'ont pas de trans- 

 formations en elles-mêmes, sauf, bien entendu, la transformation unité 

 et celle qui change les signes des trois variables. 



» Désignons par (F„) une forme de la classe donnée, par 1^ le plus 

 grand commun diviseur des coefficients de son adjointe : on pourra, 

 d'une infinité de manières, trouver une forme binaire primitive (G,,), 

 DX^-H âXY-t- AY*, qui soit représentable proprement par (F„), et dont 

 le discriminant, 4DA — S^, soit égal à i2P, P désignant un nombre premier, 

 premier avec le discriminant de (F,,) : cela résulte de ce que les discrimi- 

 nants des formes contenues proprement dans (F„) sont des nombres repré- 

 sentables proprement par l'adjointe de (F,,), et réciproquement. 



» Soient maintenant /„ = o, y, = o, /o = o trois relations singulières 

 donnant naissance à la forme (F„) : par définition, 4Fo •^st l'invariant de 

 la relation xf^ + y/\ + ^/a = o. On obtient (G„) en remplaçant, dans (F,,), 

 les variables x, y, z par XX H- \j.Y; VX H- ;;.' Y ; VX +■ \i."Y de sorte que 

 4G„ est l'invariant de la relation 



