1264 ACADÉMIE DES SCIENCES. 



a, .... -" désignant des entiers de déterminant ± i : les deux relations sin- 

 gulières 



.r/ + v<f, -1-3A = o, a;(oc/+ p<p +Y>{'')-t-7«/' + ---)+ =(// + •.•) = « 



ont donc même invariant, quels que soient x, y, z, c'est-à-dire qu'en 

 posant 



X = aa- + o.'y + a" = , Y = p.r + ^^' y + p"s, Z = ya:- ^- y'j ^- y" ". 



les deux formes 



!Dx- -f- ?5.ry + ^y- 4- 13- :;' + Cyz + Y.zx 

 et 

 DX= 4- ^XY + AY- -t- B'-Z^ -I- C'YZ -I- E'ZX 



sont identiques. En s'appuyant ici sur l'hypothèse 4DA — S" -- £2P, et sur 

 ce que la forme (F,,) n'a pas de transformation en elle-même (autre que 

 les deux transformations évidentes), on arrive à démontrer qu'on a 

 nécessairement 



X = sa- + r/'r, Y r= sj -F- p"r., Z -- tz, 



£ désignant d=i. Par suite, a'= jî ;= y = y'= o, a,r=p' = y"=s, c'est- 

 à-dire que la transformation d'ordre un qui réduit l'un à l'autre les sys- 

 tèmes (4) et (5) change/ et 9 en e/et s'p. 



» Je détermine toutes les transformations qui jouissent de cette dernière 

 propriété, et je trouve qu'elles remplacent le système (4) par le système 

 analogue 



h"" - gg' - D = o. g- ^sf~l^-o, 2B, A - C, ^^' ~ E, = o. 



où B,, C,, E, sont des fonctions linéaires et homogènes de B, C, E, 

 fournies par des formules qu'il serait trop long de transcrire; on reconnaît 

 dans ces formules celles qui donnent certaines transformations en elle- 

 même de la forme ternaire indéfinie (en B, C, E) 



(§) (4DA- S=)B^-DC=+Î5CE- AE-, 



qui est la moitié du discriminant de la première forme (6). D'une manière 

 précise, si (<I>) est la réciproque de (?), on sait que les transformations 

 de(,f) en elle-même sont liées aux solutions propres en nombres entiers 



