SÉANCE DU 2 JUIN 1902. 1289 



» I. Groupe NON PERMUTABLE. — Il dépend de la seule fonction ^(j-, y), et 

 le groupe peut s'écrire : ^(r. Y) = rf,C(.ï^, j) + a. Pour que le groupe soit 

 algébrique en y, il faut et il suffit que ^(a?, j) soit algébrique en j. Prenant 

 K{a;,y) comme nouvelle variable y, le groupe est ramené algébriquement 

 à laformeY = rt|j + a. L'équation la plus générale qui admette ce groupe 

 est évidemment 



y" = g''i-')y' (g fonction arbitraire de ^r). 



» II. Groupe permutable. — Un tel groupe est déterminé par Ci, •' 

 et/i(.r, j). En introduisant, par exemple, les variables canoniques de Lie, 

 on trouve que l'équation la plus générale qui admette ce groupe est 



(A) 



y '^ T ,),'^' 



' àr, ,, , /■3 dr, 



1/2 



àj V''. <)-^' 



r s, ^o-êi"^ -«*•■«• 



la quadrature est prise en supposant x constant; ^i(j") est une fonction 

 arbitraire de x. L'intégrale générale j est définie par l'équation 



r-7^ = fZ'dx f^P dx + C^(.r) 4- G, 



(G, G, constantes arbitraires). 



» Appliquons maintenant ces résultats au cas où le groupe est algébrique 

 en y, ainsi que l'équation (A) ('). 



» Pour une valeur déterminée de a;, un groupe (G) permutable, algé- 

 brique, peut être ramené par une transformation algébrique effectuée 

 sur j au groupe défini par les deux équations y = iJ/(;^), Y = (j'en), où 

 U = M + h(^x, a, «,), la fonction ^ étant soit la fonction p de Weierstrass, 

 soit une dégénérescence e" ou u. On voit aisément que h est nécessaire- 

 ment de la forme 



h ■— af(x) -+- a, p,(x). 



» Nous allons chercher à disposer de p et de p, de façon que l'équa- 

 tion (Â), qui admet ce groupe, soit algébrique en y. Nous examinerons 



(') Une telle équation (A) étant rationnelle en y' et, d'autre part, réductible à une 

 équation à points critiques fixes (Painlevé, Comptes rendus, i""" semestre 1900, p. 767), 

 il est certain qu'elle rentre dans les types canoniques énumérés par M. Painlevé 

 {Acta malhemalica, t. XXV). Mais je me propose de former explicitement ces équa- 

 tions (A). 



