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séparément le cas où l'invariant de la fonction p déjîend de x et celui où il 

 n'en dépend pas. 



» 1° L'invariant de la fonction p dépend de x. — On peut toujours, en 

 changeant la variable x et en effectuant sur/ une transformation linéaire, 

 donner à p' u la forme 



avec y = iCo;) pw -H [j.(a7). - 



» La quadrature qui figure dans le terme indépendant de y' de Téqua- 



- et ses 



v/7(7-')(y--^) 



deux dérivées partielles par rapport à x, J' et J". 



» La méthode classique de réduction des intégrales elliptiques permet 

 d'exprimer J" linéairement en fonction de J et J'. On trouve alors, si 

 l'équation est algébrique, que les deux fonctions p et p, sont solutions de 

 l'équation 



M On reconnaît l'équation linéaire homogène que vérifient les périodes 

 de la fonction p. L'équation (A) correspondante est 



y"— -(- -\ ^ 1 ! ]y'-— ( — ^ h - + — ^— )/ 



;- 2V7 7—1 y — xj"' V7 — -» ^ x — ij-^ 



[ - ,x(i-'lH?-^) +g-(^)v^r(->^-')(r-^)- 



)) Cette équation, classique sous une autre forme dans la théorie des 

 fonctions elliptiques, a été signalée par M. Picard, puis étudiée par 

 M. Painlevé qui a montré que son intégrale est une fonction essentielle- 

 ment transcendante des deux constantes. Une transformation algébrique 

 en y permet de supposer la fonction arbitraire g(^x) identiquement nulle. 



)) 2° L'invariant de pest indépendant de x. — On arrive aussitôt à l'équa- 

 tion 



6.r-Ç 



(2) y" = y'^- _ „ y '_ „ + q{^)y' + 'ix) sjky' - g, y - g,. 



» Une transformation algébrique en y permet d'annuler q et r. L'inté- 

 grale est fonction semi-transcendante des constantes. (Cf. Painlevé, Acta 

 mathematica, t. XXV.) 



