SÉANCE DU 9. JUIX 1902. r29I 



» 3" i|/^e". — L'équation correspondante est 



(3) y" = i-- + y(a-)y' + r(t)7 (y, '" fonctions arbitraires), 



qu'une transformation Y = 7.(.r)j, X = ^(.t) ramène à la forme 



"Y"" ^ 



Y ■ 



L'intégrale est fonction semi-transcendante des constantes. 

 » /\° (|;(//)ï=^//. — L'équation correspondante est 



(4 ) y" = q{x)y' + r{x)y H- .v(.r ). 



» En définitive, toutes tes équations du second ordre algébriques en y", y', y 

 (analytiques en or), qui admettent un groupe G algébrique en y (à deux pa- 

 ramètres), sont réductibles à une des équations (i), (2), (3) o;< (4) par une 

 transformation X = x(*^)> Y = ^{y, x) (ij/ algébrique en y). 



» Les équations ainsi obtenues rentrent bien dans les types donnés par 

 M. Painlevé. Mais, en traitant le jjroblème analogue pour les équations du 

 troisième ordre, on peut espérer être conduit à des transcendantes uni- 

 formes d'un caractère nouveau. » 



GÉOMÉTRIE INFINITÉSIMALE. — Sur deux problèmes de Géométrie. 



Note de M. Servant. 



« Nous nous proposons, dans cette Note, de ramener l'un à l'autre deux 

 problèmes importants de Géométrie infinitésimale. Nous allons montrer 

 qu'à toute surface à lignes de courbure isothermes on peut faire correspondre 

 une surface admettant une déformation conservant les rayons de courbure 

 principaux, et inversement. 



» Considérons une surface isolhermique S dans l'espace à courbure 

 constante à trois dimensions (on peut déduire par des opérations algé- 

 briques une telle surface S de toute surface i isothermique de l'espace 

 ordinaire), surface que nous supposerons rapportée à ses lignes de lon- 

 gueur nulle; les formules de Gauss[voir Bianchi, Lezioni di Geometria 

 ( A nn . di Math. , 1 897 )] s'écrivent : 



ds- = 2hdudi', 

 . à /D'\ _ dD <) /D'\ _ dD" 



DD"— D'- I d'iosl 



-, ) ) — K. = o, 



A uudv 



