1292 ACADÉMIE DES SCIENCES. 



OÙ K est une constante positive ou négative suivant que l'espace est ellip- 



D' 

 tique ou hyperbolique. Posons A' = y et remarquons que, la surfiice ayant 



ses lignes de courbure isothermes, on peut poser 



D = D"=A. 

 » Les formules deviennent 



I ' ôa dv ' Ov Ou 



. A - — r- -; — ■- k = o, 



),- A OuOv 



et les quantités \, A, A' définissent inlrinsèquemenl une surface isother- 

 mique dans l'espace non euclidien. 



» Considérons maintenant une surface de l'espace ordinaire rapportée 

 à des lignes de longueur nulle; les équations de Gauss seront, en adoptant 

 des notations analogues, 



ds"' = -iV dit f/c. 



» On voit facilement (nous n'insisterons pas sur ce problème traité par 

 Ossian Bonnet) que, si une surface (g) admet une déformation coaservant 

 les rayons de courbure principaux, on peut, en déterminant convenable- 

 ment les variables u et v, poser 



S = K + (V, S" := 7. -- (7, 



et les équations (2) deviennent 



(■') 



Or, si nous posons 



a = A', 



les équations (i) et (3) deviennent identiques, ce qui démontre la propo- 

 sition énoncée ci-dessus. 



» Supposons que nous partions d'une surface isothermique 1 de l'espace 



