SÉANCE DU 9 JUIN I902. l345 



ANALYSE ALGÉBRIQUE. — Un cas remarquable de transformation rationnelle 

 de l'espace. Note de M. D. Gravé, présentée par M. É. Picard. 



« Prenons deux équations 



( I ) A(,a" + A , a"-' -+-... + A„_, « 4- A„ = o, 



(2) B„6" + B, h'"' + ...+- B„_, h + \\, = o, 



d'un même degré n. 



» En désignant par a,, b^ les racines de ces équations et par les sym- 

 boles n/(a), Tii(b) les produits de / racines quelconques, formons les 

 fonctions 



0,., = in,(a)n,(è) 



où I </{•<«, y^l'Sn, l-h k'Sn et la somme est étendue à tous les produits 

 possibles des racines, en tenant cependant compte que dans les deux pro- 

 duits n^(a), n/(Z/) ne doivent pas figurer les racines avec les mêmes indices. 

 Le nombre de pareilles fonctions est évidemment ^n(n — i ). 

 » Si l'on élimine les racines entre les équations 



(3) Qk,i=C!,,i 



où C^y sont des nouvelles constantes, on ohlienl{n(n — i) relations entre 

 tous les coefficients A,, B,-, C^y. 



» Il n'est pas difficile de se convaincre que les relations seront de telle 

 sorte qu'on pourra les résoudre rationnellement par rapport à deux groupes 

 de v"(" ~ ') coefficients, 



Ao, A, A„, Qy (où^>i), 



B„ B3. ..., B„, C,j (où/>i). 



» Appliquées au cas de n = 3, nos considérations donnent une transfor- 

 mation birationnelle de l'espace à trois dimensions, qui a des propriétés 

 dignes d'attention. 



» Écrivons les équations (i), (2), (3) de la manière suivante : 



(4) cc^a^ -\-Y:ia'' -i-Y,a -^ x^ = o, 



(5) x.^b^ -h z^b^ -\-y.,b -h x., = o; 



G. R., 1902, ." Semestre. (T. CXXXIV, N« 23.) '7^ 



