SÉANCE DU l6 JUIN 1902. l/(l3 



si l'un pose 



.> vw» y'fi yif* yu-* 



?- = ^r + ^2 +^3' + ^;. 



» Il ne change pas si l'on remplace la courbe l, par une autre, à condi- 

 tion que p et ç conservent la même valeur. On applique la variété dévelop- 

 pable sur l'espace ordinaire, en annulant l'une des quatre coordonnées E, 

 et en conservant les valeurs de p et de ç. Or p est la courbure de la courbe 

 ainsi obtenue et cp dépend de la courbure et de la torsion, ce qui montre 

 bien que l'on a à chercher une courbe connaissant sa courbure et sa 

 torsion en fonction de l'arc. 



» Si l'on établit entre « et p une relation quelconque, on aura, dans 

 l'espace à quatre dimensions, une surface qui sera entraînée par la défor- 

 mation de la variété et donnera, dans l'espace ordinaire, une surface ayant 

 même élément linéaire. Les lignes « = const. seront des lignes planes, 

 aussi bien dans l'espace à quatre dimensions que dans l'espace à trois 

 dimensions. 



» Cela posé, considérons, dans l'espace à quatre dimensions, la sur- 

 face (S) qui résulte de l'intersection de deux variétés développables (V)' 

 et (V,). Si l'on applique successivement sur l'espace ordinaire à trois 

 dimensions les deux variétés (V) et (V,), la surface (S) sera entraînée 

 dans chacune des deux déformations et donnera, dans l'espace à trois 

 dimensions, deux surfaces applicables (S,) et (So). 



» On peut représenter l'intersection de deux variétés développables 

 par les équations 



(2) Xi= Il + a?; + p ^;: =. -^ + u, + [v-r/; (« = i , 2, 3, 4 ), 



où E, sont des fonctions de m, t), des fonctions d'une autre variable indé- 

 pendante v, ^], V- , -ri- , %'■ leurs dérivées respectives premières et secondes, 

 et y., p, 1, [1. des fonctions de m et de ^^ définies par les équations (2) elles- 

 mêmes. On aura la surface (S,) en remplaçant, dans les équations (i), les 

 quatre coordonnées E par les trois coordonnées d'une courbe ordinaire 

 ayant une courbure et une torsion définies comme il a été indiqué plus haut, 

 ces coordonnées étant des fonctions de u, et en remplaçant aussi a et (3 par 

 leurs valeurs tirées des équations ( 2). La surface (S^) s'obtiendra de la 

 même manière; mais les coordonnées ^ seront remplacées par des coor- 

 données -ri qui seront des fonctions do (^-, a et (3 devront être remplacées 

 par les valeursde X etde jx tirées des équations (2). Les courbes u = const. 



G. R., 1902, 1" Semestre. (T. CXXXIV, N» £4.) '^^ 



