SÉANCE DU l6 JUIN 1902. l4l5 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur Vintègration des systèmes différentiels 

 complètement intégrables. Note de M. E. Cartan, présentée par M. É. Picard. 



« Étant donné un système d'équations aux différenliclles totales complè- 

 tement intégrable 



), = a, dx, +. . . + a„da:„= o, 



(0 



/, dx, +...-)-/„ dx„ = o, 



la considération des covariants bilinéaires des premiers membres et celle 

 des expressions différentielles intégrales permettent d'arriver à des résultats 

 très importants relatifs à l'intégration du système. 



» I. Si «I, u.,, . . ., Ur désignent r intégrales indépendantes du système, 

 j'appelle expression différentielle intégrale une expression 



ny ^ a, dx, -h. . . + a„ dx„ 



susceptible de se mettre sous la forme 



tj = A, du, -I-. . .-t- krdur, 



les A étant des fonctions des u seulement. On verra immédiatement 

 l'intérêt que présentent ces expressions intégrales d'après les remarques 

 suivantes : 



» 1° Si la transformation infinitésimale 



laisse le système donné invariant, l'expression covarianle 



(X.cy) == ^,a, +. . . + E„«„ 



est une intégrale du système (i); 



» 2° Si l'on a un système de r expressions différentielles intégrales 

 ra,, cTj, . . ., njr linéairement indépendantes et si U est une intégrale parti- 

 culière quelconque de (1), les coefficients U, , . . ., U^ de 



sont encore des intégrales de (i). 



