SÉANCE DU iG JUIN 1902. 1/117 



» Si ce groupe G est simple, l'intégration du système donne (i) ^"^ 

 ramène à celle d'un système d'équntions différentielles ordinaires, de type 

 déterminé par la seule structure de G. Supposons, en effet, que nous con- 

 naissions un groupe particulier G de la structure donnée avec le nombre 

 minimum de variables z,, ;,. . . . , Zp, soit 



(4) Z,/=-C,.^+... + ^,,|^; 



alors le système 



(5) 



I </s, -|-^,,0J, + . . . -{-!^^, w,. = O, 

 f dz. H- !^, co, -h ... -h CpWr = O 



est complètement intégrable; on peut l'intégrer par la méthode de Lie-Mayer, 

 en posant par exemple 



les t désignant des paramètres arbitraires. Si alors 



(6) 2' =/(s,, ..., s^; c,,c,, ..., c,.) 



sont les équations finies du groupe, l'intégrale générale de (5) est donnée 

 par les formules (6), où c,, c., . . ., c^ sont r fonctions particulières de x^, 

 x^, . . ., a;„. Ces r fonctions sont les intégrales cherchées du système (i). 



» On voit d'après cela que la connaissance de r expressions différen- 

 tielles intégrales linéairement indépendantes permet de ramener l'inté- 

 gration du système à celle d'une suite de systèmes de types déterminés. 



» TII. Il est un cas célèbre où l'on a immédiatement r expressions diffé- 

 rentielles intégrales : c'est celui où le système admet un groupe transitif à 

 r paramètres (X,/, . , . , X^/), le déterminant (X,-, w^) étant différent de 

 zéro. Alors si, ce qu li est toujours possible d'obtenir, on a 



(X,-, G),) = I , (X,-, Wy) = O {if^j), 



ces r expressions différentielles sont intégrales et, de plus, les r^ coeffi- 

 cients C)ji, correspondants sont les constantes de la structure du groupe 

 donné. C'est la théorie connue de Lie sur les systèmes complets admettant 

 un groupe donné. 



» Je me propose, dans une prochaine Note, d'examiner le cas où l'on ne 

 connaît pas un système de r expressions différentielles intégrales. » 



