l562 ACADÉMIE DES SCIENCES. 



» Formant une transformation A^t avec 



k{x, y) = i{x, y) - i^{x, j) + . . . + (- i)"'/„,_,(a.-, y). 



ou 



■ ir{^> y)= i •••/ i{x,'v^)i{l:^,^:.^)...i{■^,_^, y)d':,. . .d-Vr_^, 



on trouve 



AaA, = A,Aa= Ay 

 où 



J\cc,y) = {-^Yi„,{x,y). 



» On démontre sans difficulté que /(a;, jy) est fini et intégrable dès que 



m "> 



^ I — a 



)) Ainsi, toute solution de l'équation (i) satisfait à l'équation 



(2) Af<^{x) = k^i^{x). 



» Or, f{x, y) et A^(j/(a7) étant finis, on peut appliquer à cette équation 

 les méthodes que j'ai données dans la Noie précitée. Comme il peut arriver 

 cependant que l'on trouve des solutions de l'équation (2) qui ne satisfont 

 pas à l'équation (i), il n'est pas sans intérêt que l'on puisse démontrer le 

 théorème : 



)> Si l'équation 



A,-(p(a?) = o 



n'admet pas d'autre solution que <p(a;) = o, l'équation 



ki<s^{x) = i/{x) 



admet toujours une et une seule solution. 



» Pour le démontrer, plaçons-nous dans .l'hypothèse la plus générale, 

 c'est-à-dire supposons que Dy soit nul et que le mineur d'ordre n soit le 

 premier qui soit différent de zéro. Conservant les mêmes notations que 

 j'ai employées dans la Note précitée, on peut énoncer le résultat 



1 ^ 

 où le déterminant desj3x(j. est différent de zéro. 



