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si l'on suppose que l'intégration soit étendue à un volume fini et qu'il existe 

 un nombre a <[ n tel que 



a 



reste inférieur à une quantité finie. » 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur l'intégration des systèmes différentiels 

 complètement intégrables. Note de M. E. Cartan, présentée par M. E. 

 Picard. 



« Je conserve, dans cette Note, les notations dont je me suis servi dans 

 une Note précédente ayant le même titre. 



» 1. Si l'on n'a pas r expressions différentielles intégrales d'un système 

 donné complètement inlégrablc 



.), s^ a, dx^ -K . . . + a„ dx^ =r o, 



(0 



(j)-^ l. dx . + . . .'Y- L dx„ 



<>, 



il se peut néanmoins que l'on puisse obtenir r expressions de celte nature 

 en effectuant sur w,, ..., o^^ une substitution linéaire de forme connue. 

 D'une manière plus précise : soit G un certain groupe linéaire et homo- 

 gène portant sur oj,, . . ., w^; la substitution en question peut s'obtenir en 

 donnant aux paramètres du groupe G certaines valeurs fonctions de^c,, ..., 

 Xn- Alors la substitution la plus générale de cette forme permettant d'ob- 

 tenir r expressions différentielles intégrales se déduira d'une substitution 

 particulière suivie d'une substitution du groupe G pour laquelle les para- 

 mètres seraient des fonctions arbitraires des intégrales w,, . . ., u^ de (i). 

 » Par exemple, on peut toujours mettre les covariants bilinéaires de w^, 

 u)2, . . ., 0)^ sous la forme suivante : 



>, (1 A- * 



où les a, p, ...,>, sont p systèmes de constantes, cr,, . . ., cjp étant p ex- 

 pressions de Pfaff. Alors, si l'on considère les p transformations infinité- 

 simales linéaires et homogènes 



