SÉANCE DU 3o JUIN 1902. |565 



le plus petit groupe linéaire et homogène auquel elles appartiennent peut Hrv 

 pris pour le groupe G. 



» II. On peut souvent arriver à réduire le groupe G à un de ses sous- 

 groupes par l'un des procédés suivants : 



» i" Si l'on effectue sur les w, une substitution linéaire obtenue en 

 rempliiçant les paramètres de G par des fonctions quelconques de a;,, . . ., 

 x,„ les formules (2) conservent la même forme, cr,, ..., cjp étant remplacées 

 par d'autres expressions différentielles. Certaines combinaisons linéaires C 

 à coefficients constants des C;,^i subissent alors des transformations qui ne 

 dépendent que des paramètres de G (et non de leurs dérivées partielles) ; 

 ces combinaisons linéaires sont d'ailleurs connues immédiatement dès 

 qu'on connaît les transfoimations infinitésimales de G. Le groupe iso- 

 morphe à G qui transforme les quantités C peut admettre des invariants : 

 ce sont alors des intégrales du système donné; on peut aussi profiler de l'indé- 

 termination des paramètres pour donner à certaines de ces quantités des 

 valeurs constantes. On arrive ainsi à réduire le groupe G à l'un de ses sous- 

 groupes G,, sur lequel on peut répéter les mêmes opérations s'il y a lieu. 



» 2" La connaissance d'une intégrale particulière U du système donné (i) 

 conduit à des résultats analogues; il suffit d'exprimer dU en fonction li- 

 néaire de w,, 0J3, . . ., 0)^ et de raisonner sur les coefficients obtenus comme 

 on a raisonné tout à l'heure sur les quantités C. 



» 3° Il en est de même de la connaissance d'une transformation infini- 

 tésimale Xy admise par le système donné; il suffit de raisonner sur les 

 r quantités 



(X,(o,;, (X,o)o), ..., (X,co^) 



définies dans ma première Note et qui subissent entre elles les transforma- 

 tions du groupe G. 



» On pourra toujours appliquer l'un de ces trois procédés jusqu'à ce 

 qu'on n'obtienne plus d'intégrale nouvelle et qu'on ne puisse plus réduire 

 le groupe G. 



» III. Lorsque le groupe final G ne se réduit pas à la substitution iden- 

 tique, on peut suivre pour l'intégration deux voies bien distinctes : 



» 1" On peut chercher une intégraleparticulièredu système; la méthode 

 exposée plus haut (II, 2") réduit le groupe G et peut même donner des 

 intégrales nouvelles : c'est à cet ordre d'idées que se rattache la théorie du 

 dernier multiplicateur de Jacobi, lorsque G est le groupe linéaire et homo- 

 gène spécial à r variables. 



