6o ACADÉMIE DES SCIENCES. 



instant de calme relatif, on a entrevu la goutte noire. Sur le Soleil, le disque 

 de la planète a paru parfaitement rond, uniformément noir et beaucoup 

 plus noir que les noyaux des taches qui formaient alors un groupe visible à 

 l'œil nu; jamaisiln'a été possible d'apercevoir ni auréole, ni point brillant. 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur la somniobilité des séries de Fourier. 



Note de M. A. BuHL. 



Dans les Comptes rendus (i4 octobre igo^) et dans le Bullelin de M. Dar- 

 boux (décembre 1907) j'ai donné une formule de sommabilité concernant 

 la série de Laurent. Or on montre, dans tous les Traités d'Analyse, qu'une 

 substitution de la forme s = e'" permet de passer de la série de Laurent à 

 celle de Fourier. On peut donc, de la formule de sommabilité concernant 

 la première série, déduire une formule concernant la seconde. Je me borne 

 à rappeler ce fait intuitif et vais ici établir directement, dans le champ réel, 

 une formule de sommabilité très générale concernant les séries de Fourier. 



Soient les deux développements 



Soient *„ la somme des (« -h 1) premiers termes de (i) et c„ le {n -f- 1)'™'^ 

 terme de (2). Par des transformations élémentaires, on trouve que l'expres- 

 sion 



n 



(3) .^^TÎT^ 



est la somme de deux intégrales doubles qui, si l'on pose 



deviennent 



e T 



u— - 7: 



/" /' V ( e -t- Ci u ) f^^-^'^-''^ sin(/i-n)(« -1-1') siii[</ -h »(« + !■)] ^^^^ ^^^^^ 



yiT) siii(M-hi') 



•2 2 



7C— - TT — - 



J j J ^ /(-) sin(« — i'} siii« 



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