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ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur un système différentiel du second degré. 

 Note de M. L. Sciilesixger, présentée par M. H. Poincaré. 



Soit (j/a) la matrice intégrale du système différentiel linéaire et cano- 

 nique 



(*) t=i^'i:ï^ "•-=■•'- '•■> 



/l = 1 V = 1 



qui, pour j = a;„, se réduit à la matrice unité (o,a), et supposons que Jes 

 substitutions fondamentales (c'-l^), correspondant aux coupures (a,,, ^) = ^v, 

 soient indépendantes des aflixes des points singuliers a,, . . . , a^, considérés 

 comme paramètres variables. Il s'agit d'étudier les J/a et les A^^" en tant 

 que fonctions des «^5 c'est ce que je nommerai le problème de Fuchs. Les- 

 dites fonctions pourront être définies comme il suit : si l'on fait décrire 

 aux a,, . . . , rt^ des chemins arbitraires, tels que jamais deux de ces poiiits 

 ne se rencontrent, et qu'aucun d'eux ne coïncide avec x^ ou avec x, et si 

 l'on suppose que, durant la variation des a.„ les coupures /,, se déforment 

 comme si elles étaient des fils flexibles et extensibles, alors, pour chaque 

 situation des «v et des /^, les y,A subiront les substitutions constantes (4a') 

 lorsque la variable .r franchit les coupures 4? et ils vout constituer une 

 matrice intégrale d'un système différentiel de la forme (A), aux résidus A)^', 

 et pour lequel les racines r'i" des équations déterminantes sont fixes. Soit 

 a; =: a;', a.,^=a[, un système de valeurs finies et différant entre elles pour 

 lequel aucun cas des a'^ ne coïncide avec a\ ; les fonctions j^ seront holo- 

 morphes au voisinage de x ^= x' , ay=^a[^, et les fonctions AJ^' seront 

 holomorphes au voisinage de a^=a^ (v ^ i, a, . . . , a). Chaque système 

 de chemins fermés décrit par les «v, c'est-à-dire chaque systèm'e de che- 

 mins pour lequel les points extrêmes sont les mêmes que les points de 

 départ, peut être composé des chemins qui font changer leur place à deux 

 points voisins tels que a^, «v+i (')• 



Si, après un tel changement, on rétablit les coupures primitives, on 

 aura, auprès des coupures Z^, /,,_^,, ouïes substitutions (^-T")) respective- 

 ment «-"), (<^;^), «r')"', ou les substitutions «;')-', (4^), «^')> res- 

 pectivement (c'/^l). On peut donc assigner, pour chaque système de chemins 



(') Voir, par exemple, Hurwitz, Malhem. Annalen, t. XXXIX 



