110 ACADÉMIE DES SCIENCES. 



Soit maintenant 



(4) 6{.T -h na) + «, 0[.r ^ (n — i) a] -]-... + a„9{x) — o 



une ('-quiilion homogène à coefficients constants. En désignant par p,, 

 0,,, . . ., Oft les racines distinctes de l'équation caractéristique 



(5) F(p)r=p"+rt,p"-' + ...+ rt„-=0 



et a,, a.,, . . ., a,, leurs degrés de multiplicité, la solution générale est de la 



forme 



e(œ)=Pt /'■.-•■ 4- P, /'■"*■ + . . . + F/,- /'■'■'■, 



P,, P., ..., P/( étant des polynômes entiers en x de degrés a, — i, Kj — i, ..., 

 or^ _ I dont les coefficients sont des fonctions périodiques arbitraires de pé- 

 riode a. 



Nous nous plaçons, dans la suite, dans riiypotliése où l'équation carac- 

 téristique (5) n'admet aucune racine de module égal à l' unité. Dans ce cas, 

 on établit sans peine que l'équation (4) n'admet aucune solution 6(.r) pério- 

 dique de période />('). 



Ceci posé, considérons l'écjuation 



(6) 9(x + lia) -H a, 0[x 4- {n — 1)0] -h. . .-h a„ 0{.x:) := cp(j;), 



o{-'v) désignant une fonction donnée de période b. Cette équation admet-elle 

 une solution 6 (a;) périodique de période Z*? Supposons provisoirement que 

 l'équation caractéristique F(p) = o n'ait que des racines simples. La solu- 

 tion générale de (6) peut se mettre sous la forme 



(7) 9(a-) = >.,(.0 ''•'■'■+ ■ ■ • + >u{-r)l^..^, 



les X étant assujettis à vérifier les équations 



l,{x + a)~li{.r)= ] o(a-)l-':== (<=i, 2, . . . , n). 

 Pi ' \ pi 1 



■ (') Celle propriété est du reste plus générale : si l'équation caractéristique (5) 

 n'admet aucune racine de la forme 



, a . . a 



p r= COS 2 A' 71 V + « Sin 2 A- TI -r > 



i'équalion fonctionnelle (4) n'admet encore aucune solution périodique de période b. 



