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simple, à savoir : le iripport — entre la courbure totale et la quatrième puis- 

 sance de la distance du centre au plan tangent ne change pas le long d'une 

 génératrice quelconque de la surface. 



Cela étant, considérons une surface quelconque 2 et attachons à chacune 

 de ses lignes asyniptotiques la surface réglée engendrée en menant par cha- 

 cun de ses points la tangente à l'autre ligne asymptotiquequi y passe. Darts 

 le cas où toutes ces surfaces réglées sont à centre commun, et seulement dans 

 ce cas-là, la surface 2 considérée est une surface S. C'est là la définition 

 affine que je voulais obtenir. .l'ajoute que dans ce cas les surfaces réglées à 

 centre sont elles-mêmes aussi des surfaces S. 



2. Je me propose maintenant de compléter le résultat précédent, en fai- 

 sant voir qu'une surface S ne peut pas avoir de point Oecnodal à distance 

 finie. Considérons en cfTel un point flecnodal M de la surface. La tangente 

 (lecnodale est tangente à une de ses asymptoliques qui passent en M, par 

 conséquent elle est tangente fiecnodale pour la surface réglée attachée à 

 C(!tte asymplotique. (Jr nous avons démontré que cette dernière surface 

 réglée est une surface S et que par suite elle n'a pas de point flecnodal à 

 distance finie {Comptes rendus, 9 décembre iqo^); donc le point M ne peut 

 pas se trouver à distance finie. 



3. Il est intéressant de voir que, en prenant pour lignes coordonnées 

 M = const., <J=:const., les lignes asyniptotiques d'une surface, ses lignes 

 (lecnodales s'obtiennent d'une manière remarquablement simple. Les coor- 

 données .r, j', z d'un point de la surface vérifient les équations 



d^O 00 , OB 

 au'- ou ov 



o'o ' „oe ,„de 

 -pr = o -7- -t- è -r • 



(/('- ou Oi> 



Les deux lignes flecnodales sont alors déterminées par les deux relations 



b=zo, a"z=o. 



Dans le cas où la surface est simplement réglée, on a è^o ou a"^o et 

 alors une des lignes flecnodales disparait. Dans le cas où la surface est dou- 

 blement réglée, c'est-à-dire une quadrique, on a b^sa"^so et les deux 

 lignes flecnodales deviennent indéterminées, ce qui était d'ailleurs évi- 

 dent. 



