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Représentons enfin par ioc„, £r„, £=„ les coordonnées d'un point de la 

 froïitière d'un corps, œ^, r„, 2,, étant liés par une relation déterminée; 

 II, (', a' seront des fondions du paramètre s. et l'on pourra se proposer 

 l'étude de ces fonctions dans le voisinage de £ = o. 



La principale difficulté de la lliéorie des corps minces réside, comme 

 nous l'avons déjà indiqué, dans la nature du point h = o ou du point z =; o. 

 Dans la solution que Poisson a donnée du problème du mouvement vibra- 

 toire d'une sphère, la valeur zéro du rayon de la sphère supposé variable 

 apparaît comme un point singulier essentiel. Il est possible que ce fait ait 

 ('•lé remarqué par Poisson et l'ait conduit à l'observation qui se trouve à la 

 page /(47, n° 34, de son célèbre Mémoire de 1828. Cette observation con- 

 tient, selon nous, la véritable explication des obstacles rencontrés depuis 

 par Saint-Venant (') et Ivirchholl'. Poisson, cependant, n'en a tenu aucun 

 compte dans la suite de ses recherches, pas plus que Cauchy; il est impor- 

 tant, par suite, de se demander ce qui peut subsister de leurs résultats. 

 C'est ce que nous allons indiquer, au moins en ce qui concerne le problème 

 statique, car il nous a paru impossible, au sujet du problème dynamique, 

 de donner un sens aux considérations de Poisson et de Cauchy, et il semble 

 qu'il y ait une sorte de coup de pouce inconscient dans le procédé qu'ils 

 ont employé pour retrouver l'équation de Lagrange et de Sophie Germain. 



Considérons en premier lieu la plaque, et bornons-nous au cas considéré 

 par Poisson et Cauchy, où les ell'orts sont imposés sur les bases, les données 

 pouvant être variées sur le bord latéral; en cherchant d'abord avec eux des 

 fonctions u, v, w admettant A ^ o comme point ordinaire et vérifiant les 

 équations indéfinies (i) ainsi que les données sur les bases, apparaissent des 

 conditions restrictives que nous avons pu écarter en substituant dans le rai- 

 sonnement A-m, A'-f, h'wk u, (', w; en procédant ensuite comme l'ont fait 

 Poisson et Cauchy, et en poursuivant la détermination commencée par eux 

 des coefficients des développements, nous sommes arrivés à ce résultat remar- 

 quable que les valeurs de u, v, tr peuvent en quelque sorte se sommer par 

 rapport à h et se présentent sous la forme suivante : 



(2) U=: llj-i- [/,, (•=(', -t-l'j, it' = iF, -t- l»^2, 



OÙ «21 ^2) "^'2 sont déterminés explicitement au moyen des elVorts sur les bases 

 et des composantes X, \ , Z, s'annulent pour c = o, et aussi quand les efi'orts 



(') Voir eu parliculiei- ]). ii8g, § IV du tiavail inséré par Sainl-\enant en 1843 aa 

 Tome X\ Il des Comptes cendiis. 



