SÉANCE DU 27 JANVIER 1908. 17 I 



sur les bases el les composantes X, Y, Z s'annulent ; enfin «,,«,, a', s'expriment 

 explicitement au moyen de u„, i'„, w„ et de leurs dérivées et sont, par rap- 

 port à z, des polynômes du troisième doe^ré pour «,, c, et du deuxième 

 degré pour »', ; les fonctions it„, *'„, iv„ vérifient des équations aux dérivées 

 partielles, <|ui présentent, à l'égard du paramètre /<, le même caractère 

 que M, <•, w. On retrouve ainsi, en particularisant les données, la solution à 

 laquelle est arrivé par une autre voie M. Maurice Levy (' ) eu 1877. Si l'on 

 veut vérifier, au moyen des valeurs trouvées, les conditions sur le bord 

 latéral, on se heurte en général à une impossibilité, qui se présente sous la 

 forme même mise en évidence dans la remarque que M. Boussinesq a faite 

 en 1878 à la page 108 du Tome LXXXVI des Comptes rendus. 



Considérons maintenant le cas d'une tige, et supposons avec Poisson, 

 pour simplifier, que la section transversale de cette tige soit circulaire; si 

 l'on cherche des fonctions m, c, w admettant la valeur £ = o du paramètre 

 de KirchholT comme point ordinaire, et vérifiant les équations ( i) et les con- 

 ditions à la frontière latérale (où les données sont supposées admettre 

 aussi £ = o comme point ordinaire), on est encore amené en général à envi- 

 sager £-M, z-v, i'-w et l'on trouve de nouveau un résultat curieux; si l'on 

 poursuit les développements commencés par Poisson, les valeurs cherchées 

 se somment par rapport à e et ont la forme (2), où maintenant u^, v.,, iv.j 

 sont déterminés explicitement par les doiniécs sur la face latérale et par les 

 composantes X,Y, Z, et s'annulent pour r =/ = o; u,, r,, iv, s'expriment 

 explicitement au moyen des valeurs ji„„, <'„„, (r„„ de 11, i>, «• pour ,t = r =: o 

 et de leurs dérivées, et sont, par rapport à t, y, des polynômes du troisième 

 degré pour u, et du deuxième degré pour c,, ir,. On retrouve ainsi, en par- 

 ticularisant les données, la solution célèbre de Barré de Saint-Venant, et l'on 

 s'explique, dans une certaine mesure, pourquoi elle apparaît dans les re- 

 cherches de M. Boussinesq {'■') sur les tig«s minces. Il y a d'ailleurs encore 

 impossibilité de vérifier, en général, avec la solution (2), les conditions sur 

 les bases, à moins de se borner à des résultantes. 



Les considérations précédentes montrent que Poisson et Cauchy, en 

 poursuivant plus loin leurs calculs, auraient été conduits aux problèmes de 

 Barré de Saint- Venant et de M. Maurice Levy, qui nous paraissent devoir 



(') Comptes rendus, t. lAWU', 1877, p. ogG; Jotirnalde Malliémali'iiies, 3*= série, 

 t. III, 1877, p. 219. 



(-) Comptes rendus, t. LXXII, 1871, p. 4o7 ; Journal de Mathématiques, 1.' série, 

 l. XVI, 1S71, p. 125; 3" série, t. V, 187g, p. i63. 



