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ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur le développement d' une fonction arbitraire 

 suivant les fondions de Laplace. Note de M. Léopold Fejkr, présentée 

 par M. Emile Picard. 



Soit 



"„ 4- «I 4- M, -1- ... + it,, -1- . . . 



une série queicoïKjue. Je désigne par 



. s'„ .i\ s'., s„ 



126 /( + I 



s"„ s". s" s], 



3 (3 ( /i -(- I ) ( /i -[- 2 ) 



les suites de Cesàro (modifiées par M. Knopp) de la série considérée, en 

 posant 



S,,-^ l'«-h ?/, + .. .4- II,, \ 



■f',, — Sa 4- .«1 4- ...-(- .v„ , ( /; = O, I , 2, . . . , X. 



s'n — \ + •'•■'1 4- . . . 4- «;, 1 



YSaw^Xq's Comptes rendus Avi 10 décembre 1900 j'ai démonUé le lliéorème 

 que, pour la série de Fourier d'une fonction /(^)i satisfaisant à certaines 



conditions très générales, la limite lim —^ — existe et représente la valeur f('!jî). 



Dans les lignes suivantes je veux montrer que, pour la série 



(0 y'^^V^ r r I^,(cosy)/(5^o')sin5^/^/,/-.' 



[cosy =; cos'y cos5' 4- siii {/ sin&' cosio' — o)], 

 procédant suisatit les fonctions de Laplace, la limite 



Min -j - 



„^.„ («4-l)(/«4-2) 



existe cl représente la râleur /\f), o^, si la /onctu)/i /{<)., '^j satisfait à cer- 

 taines conditions très générales. \Par exemple, lorsque f(f), o) est bornée et 

 intégrable sur la sphère, et continue au point 0, o. | 



