SÉANCE DU 3 FÉVRIER I908. 225 



La démonstration repose sur certaines propriétés de la série divergente 

 (A) F„(cos7)-i-3P,(cosy)-+-.. .4- (a/i -+- i)P„(cos-/ )-(-... , 



procédant suivaiil les polynômes de Legendre, et (jui joue ici un rôle ana- 

 logue, comme la série 



A 4- cosy -(-...+ cos « 7 -f- . . . 



dans la théorie de la série de Fourier. 

 Remarquons d'abord ({uc 



O ( /• ) = «0 -t- "1 '' -i- • • • -t- l'n ''" 4- • . . 



étant convergente pour | /l << i , on a 



,-,■-2-'"'' (,_r)^-^" ■ (,-/)'-^*"' • 



Mais en rappelant rêqualiou bien connue 

 y (2/(4-1) F„(cos-/)/-"^ '^^ 5 =-. - 



_„ (I — arcosy 4- r-)- 



on a, en niultiplianl les deux membres par 



/■ cos y 4- I- y/, _ 2 ,. cos y 4- /'■ 



y ^; (?)'•" ^ 



( I — /■ )•' 

 1 I — /•- 



W — i-y, ,'^ (i — n- I — 3/-cosy 4- /■- I — /■ Jî 



■ (i — 2/-cosy 4- /■-)- ' * 



' I — 2/' cos y 4- r- 



Mais, comme 



; =: 2 - -4 /'COS y 4- . . .4- l" CO^ Il 7 4-... , 



I — 2 7'C0Sy4-/- ■>. I 



^ =r P„(cosy) 4- 1*1 (cos y) /■ 4-. . .4- P„ (cosy )/" 4- . . ., 



\ I — 2 /cosy 4- /- 

 (III iililii'iil 



(2) g{r)=. 



= ' . — '^=^ — . -y 



(i — /')- I — 3 /-ces y 4-/- *^ 



siii ( /( 4- n 



I 



/■" ^O^y^27:), 



(3) /((/•)--= 



\. 



I ^12 



'' i/i — 2 /• cosy 4- r'- ^^ J ~ 



siii( Il H- i) 



l 



dl 



■ t- I , 



3111 - y 2 (cosy — cosf ) 1 



/•" (o<y<7:), 



