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OÙ, pour établir l'équation (3), nous avons appliqué la t'orniule de Mehlor 



sin (2 /i -i- i) - dt 



^ , 1 //( =0, I, 2, . . ., GO 



1»{C0S)/) 



"^ J^ \/2(cosy — cos/) \ o < y < TT 



Des équations (2), ( 3 ) il s'ensuit iraaiédiatement que les séries de puis- 

 sances ^(r), A(r) ont tous leurs coefficients non négatifs, quelle que soit la 



valeur de y. Les coefficients de leur produit y ^«('f)'" onl^ donc la même 



propriété. Nous avons donc le théorème suivant : 



Théorème 1. — Les sommes de deuxième rang s\^{^0 (/; = (), 1, 2, ..., 00) 

 de la série (A) sont toutes non négatives, quelle que soit la râleur de y. 



Soit maintenant iSySiz, t étant une quantité positive fixe, mais aussi 

 petite qu'on veut. Alors, comme on le voit facilement, tous les coefficients 



de g(r) sont plus petits que ^i et ceux de /i(r) sout plus petits que 



où c est une constante absolue. 



• o £ 



sin-'- 



2 



Donc 



et nous pouvons énoncer le théorème II : 



*«(•/)<(" +')7 — ^— T [e'^yin; « = o, 1, . . ., ce), 

 sin 



liin 



■<.{■/) 



( « + 1 ) ( /t + 2 ) 

 1 .2 



la convergence étant uniforme dans l'intervalle ( £, ~) quelle que soit la petite 

 quantité positive t. 



En appliquant ces deux théorèmes, on déduit très facilement que 



y.^ <,(6, ?) 



« = » (« + i) (« -I- 2) 



s"n(y) 



I . 2 



/(ô'.>')sinÔ'afÔ'n'cp' = /(ô, 9): 



— li,n_!_ / / *'»(y) 



la fonction /'(O, oi) satisfaisant certaines conditions très génén 



