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ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Théorème sur les séries de Taylor. !Vote 

 de M. Michel Petrovitcu, jjrésenLée par M. Emile l'icard. 



• Nous dirons qu'une série 



(i) J{z) = a,,+ a^z^'^n,z---v... 



à coefficients réels, convergente dans tout le plan des s, jouit de la pro- 

 priété (A), si la fonction /^(:;) ainsi que tout polynôme /„(:■) formé 

 de ses n + i premiers termes ont leurs zéros tous réels. 



Nous nous proposons de rechercher les conditions nécessaires et suffi- 

 santes pour qu'une série (i) donnée jouisse de la propriété (A) en nous 

 bornant dans cette Note au cas des coefficients «„ jjositi/s, le cas où il y 

 aurait des coefficients négatifs étant réservé pour une Communication 

 prochaine. 



Les cas «„== o (qu'on peut éviter) et a, = o (dans lequel J'.^ aurait ses 

 zéros imaginaires) étant exclus, on peut toujours faire a„= i, «,1=1. En 

 désignant par 



(2) a„{z) — z" -h z"-' + a,z"-^ -\- . . .-ha„ 



la transformée en - de l'équation /„{'■) = o, les polynômes cp,i(s) peuvent 

 être définis par la relation de récurrence 



(3) ^ 9„(5)= ;cp„^,{;)-h«„ 



avec o„(x) ;= i. La courbe 



(4) y = 9«(^) 



n'est autre que la courbe 



(5) J'=r=cp„_,(c), 



après qu'on a déplacé l'axe Os de celle-ci parallèlement à lui-même de la 

 longueur a„ vers les y négatifs. 



En construisant de proche en proche les courbes (4) en partant des 

 courbes déjà construites 



(6) J^9n-l{ = ) 



avec 9,(2) = = + I, on s'assure facilement que : 1° la courbe (6) coupant 



