SÉANCE DU lO FÉVRIER 1908. 273 



son axe Oz en n — i points réels, pour que la courbe (4) coupe aussi son 

 axe Oz en n points réels, il faut et il suffit que le déplacement — a„ de cet 

 axe soit inférieur ou égal au plus petit déplacement ?„ qu'il faudrait lui 

 imprimer vers les y négatifs pour qu'il vienne toucher la courbe (^)\ 

 2" si ci„<C.^„ la courbe coupe son axe O- en n points réels distincts; 

 3° si a„= \n les points d'intersection sont encore tous réels, mais il y en a 

 de confondus. • 



Or, si Ton désigne par 



(7) A„(cf2,a3, ...,«„) 



le discriminant du polynôme (2), la valeur ^„ sera la plus petite racine posi- 

 tive (dont l'existence est assurée d'après la construction précédente) de 

 l'équation algébrique en x, 



(8) A„(«2,«3, ...,n„_,,.r) = o, 



donnant les valeurs de x^^a,, pour lesquelles le polynôme 9„(x") a des zéros 

 multiples. 



On arrive ainsi, d'une manière bien intuitive, au théorème suivant : 



Pour qu'une série à coefficients positifs 



(9) i + z -\- a^z- -h a-iZ^ + . . . 



jouisse (le la propriété (A), il faut et il suffit que le coefficient a„ soit infé- 

 rieur ou égal à la plus petite racine positive de l'équation (8) et cela pour 

 toute valeur k^ 2. Les zéros des polynômes seront, d'ailleurs, tous simples 

 ou il y en aura de multiples suivant (pi'on a «„<] ^„ ou bien a„^^ ^„. 



Parmi toutes les séries (9) en nombre illimité, jouissant de la pro- 

 priété (A), l'une mérite une attention toute spéciale : c'est la série 



(10) /(z) = i^z-i-l,z'+l,z' + ..., 



où tous les coefficients atteignent leurs plus grandes t>aleurs possibles. 



Le coefficient X„(^' = 2,3,...) est la plus petite racine positive de l'équa- 

 tion algébrique en x 



(11) A„(X2, l.„ ...,>.„_,, j;) = o 



ayant toujours pour racine a;= o et au moins une racine positive, comme 

 l'indique la construction précédente. On trouve ainsi 



5 - ' > - ' l - 



4 54 ' ^379,423 



C. R., 1908, I" Semestre. (T. CXLVI, N» 6.) 36 



