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dans (2) ç et 1]/ par des fonctions tmsines «p, et i];,. En partant de limites 

 supérieures de | 9 |,.| 4^1, I9 — 9i !> | 9' — cp, | et de \'\ — '-p, | on aura aisé- 

 ment des limites supérieures â(a;) pour \u — v\ et o,(a;) pour \u' — v'\. 

 Voyons maintenant comment on trouve cp, et •\l^. 



Dans le cas particulier très important où a el b sont constants, on peut 

 prendre ç = cp,. 



La détermination de (p, estmoins aisée dans le cas général, on peut cepen- 

 dant la regarder comme praticable par des méthodes connues, puisqu'elle 

 revient à l'intégration approchée d'une équation linéaire 



tl>, = F(j;, Y), ri')—g{a)). 



Nous prendrons alors ^|/ — ij/, = F(x, Y, Y') — F {x, ri, -q'). 



Admettons : i" qu'on ait des limites supérieures grossièrement évaluées 

 pour \u\ et |a'|, soient i et t, (on ferait au besoin des hypothèses dont on 

 vérifierait ensuite la validité); 2° que lorsque le point x, y, y' se déplace 

 au voisinage de la courbe j = yj (a?), y' ^=r\ {x') on ait pour F une inégalité 

 de Lipschitz dont les coefficients a et ^ soient petits. Nous aurons alors 

 1 4^ — "^t I "^ '^^ + P^' ^^ nous pourrons calculer et o, . 



Tant que | a; |, 1 1' rt S |, ] c' zt S, j sont assez petits pour que les hypothèses 

 antérieures soient vérifiées on peut affirmer que u et u' restent compris respec- 

 tivement entre v — et v -\- el entre v' — Of et r' -+- 0, . 



Pour donner à une équation quelconque y" = f{j:,y, y') la forme (3) on prend 

 pour a el 6 les résultats de substilulion de ï] et y)' à y el y' dans — f et — fy ( ou dans 

 des fonctions voisines). Si les dérivées _/"'. el fy sont continues et varient lenlement, 

 a el j3 sont petits comme nous l'avons supposé. 



3. On peut aussi évaluer une limite supérieure de | m | en remplaçant dans (2) cp et ij/ 

 par des fonctions respectivement supérieures à | cp | el 1 ij; |. On rattache à ceci la justi- 

 fication d une méthode d'approximations successives souvent enijjloyée : on prend 

 j, ^ Y) puis, d'une façon générale, y,- satisfaisant à y", -+- ay\ + byi^^ F('^>/i-ii J'î-i)- 



4. Les fonctions cp, et ij;, peuvent avoir des signes quelconques; des com- 

 pensations pourront donc se produire dans l'évaluation de i' et de v' . Grâce 

 à cette circonstance, les résultats du n° 2 permettront mieux que les mé- 

 thodes antérieures d'apporter à la notion intuitive « deux équations diffé- 

 rentielles voisines ont des solutions l'oisines » non seulement la rigueur 

 mathématique, mais encore une précision suffisante pour conduire à des 

 inégalités numériques pratiquement utilisables. 



