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Soit V(a',y; A) le noyau résolvant correspondant à un noyau quelconque 

 K(x, y). De Tidentitc fondamentale 



(i) r(x, y; /) - K(u; j) = À f K(a; s)T(s, y; À) * 



on déduit, en multipliant les deux membres par ' f''(^) désignant une 

 fonction quelconque de .r], une nouvelle identité qu'on peut écrire 



( 2 ) r, ( .f, j- ; >. ) - Kl ( r, y}^'/- I K, ( ■*•, s)l\( s, y ; À) fis, 



en posant 



K,(,r,;') = K(x, 7)^^:^^, r,(.r, v; l)=\\a-,y; l) ^— ^, 



et nous en concluons que F, (îf, y; A) est le noyau rèsolvani corrcspuiulanl 

 au noyau lV|(a;, v). 



Cela posé, supposons en particulier que le noyau K(j;, j) soit de la 

 forme 



(3) K{.r,y) = ^{jo,y)^'p(.v)p(y)rj{x)q{y), 



S (a;, y) étant une fonction symétrique de x et de )', p{x) et ({(x) deux 

 fonctions positives dans Tintervalle (a, h). Ce noyau Iv^a-, j) est évidem- 

 ment symétrique; soit Y{x,y\ À) le noyau résolvant correspondant. Appli- 

 quons la remarque générale précédente en prenant ici 



nous aurons dans ce cas 



(4) 



K,(.r,j)= y/^^||MZls(^,j-)v//^(-r)/^(7)7(^î')^/(r)=/>(.0 '/{.>■) S(.r,j) 



(Jn en conclut que le noyau résolvant r,(a, y;Xj qui correspond au 

 noyau />(.r)y(^^ ) S(a-, y) est égal au produit 



v/; 





(_)r, d'après les propri(''lés des noyaux symétriques, tous les pôles de 

 r(.r, y; A) sont des pôles simples réels. 11 en est donc de même des pôles 



(le r,(.r, v; A). 



