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GÉOMÉTRIE. — Sur les co/igriienres de courbes planes. 

 ^ole de INl. C. Popovici. 



.le vais exposer dans la présente Note quelques résultats qui feront suite à 

 la Noie précédente et aux belles recherches de M. (larrus. 



1. Gènéralisalion des équations lijiéaires. — Considérons l'opérateur 



U(/) = ",(.f,, '■«)-n" +•■•+"„-, (i-,, ...,x„)-^— + -f- 



(J-i \ il 'i n — \ iJ'' Il 



et Féqualion 



D(l)=:U"-"(l) + «,(x,, ...,a-„)U"-MI)+... + «„-2(A->, ...,x„)UiI) = o; 



les intégrales de cette équation peuvent se séparer en deux catégories : 

 1° les intégrales ('^(a-,, . . . , j-,i) qui appartiennent à l'équation U(i') = o; 

 2" les intégrales I qui n'appartiennent pas à cette équation. 



Far rapport à ces dernières, on peut énoncer les deux ihéorèmes sui- 

 vants : 



i" // existe une i/i/ci^/'ule 1 /elle que, pour .)•„ = a", on ail 



1= (po(.r,, ...,.*■„__,),' 1.1(1) =r o,(;f,, ...,.r„ ,), ..., IJ" -(l) = ç,„ ,(j', ,..,.(■„ ,); 



2" Entre n — i i/Uei;/-ales 1, il e.iiste toujours une relutum de la forme 



(:,(i',, . . ., i'„ ,)!, + ... + (;„ ,(r, r„ ,)!„_,+ ' = o. 



2. liecherelies des eourhes planes (ipparteiuinl à une rony^ruenee. — Prenons 

 le cas le plus général, où Wi\\ ne connaît [>as niéinc la cougruence 



mais la langenle en cluupic point. Va\ d autres teiiues, trouver les intey^rales 

 ipii représentent des caractéristiques planes d'une équation IJ ( /"} = o sans 

 qu'on sache intép;rer cette équation. 



( ionsidcions une équation ]J(,I), les fonctions a,, ..., a,,^, étant i/vléter- 

 mi/iées. Substituons //, , . . . , (/„_o à la place de 1. Les équations 



1J((/,) — o, ..., D( //„_.,) = 



