SÉANCE DU l'\ l^VRIER I()o8. 387 



vont nous déterminer rt|, ..., (i„ j. Si nous subsliliions Miaiiih'iiaiil //„_,, le 

 résultat ne sera plus, en i;énéral, luil. Dn aura 



D(//„_,) = D(./-, r„), 



D 



U" '(«,) 



U" '(/^,-,) 



Prenons coninie varialjlcs e,, ..., if,, ,, D. four h s points de la surface 

 \) ^ o, on aura une relation de la forme 



C,{l',, . . ., (■„_,)«,-(-. . .H-C„_,(l',, 



'•«-») ««-1 H- 1 = 0, 



D=:0. 



Les trois théorèmes que j'ai énoncés dans la Note précédente résultent de 

 ces deux égalités. 



S'il existe des courbes planes parmi les intégrales du système dx^^ u^dx„, 

 celles-ci se trouvent, sans aucune quadrature, à l' intersection des surfaces 



«1^ h. ..+ "„-=,-; ■ + -. =0 (D=0). 



l'our qu'il y ail des solutions du problème, il faut que les deux surfaces se 

 coupent. Si la première de ces équations est identiquement satisfaite, la sur- 

 face D = o sera le lieu des caractéristi([ues planes. Si De=o, alors toutes 

 les caractéristiques sont planes et nous avons donné la méthode pour trouver 

 les intégrales. Cette méthode était au fond celle de M. Darboux, généralisée 

 après lui avoir appliqui' une légère mais essentielle simplification. 



3. Singularités des courbes planes. — Un peut classilier les congruences 

 de courbes planes d'après l'équation 



D(1) = LI"-'(I) -ha,U"-'(l) 



U(I) 



U''-'(",) 



U{u„_,) ... U"-' ("„-.) 



Les fonctions «,, ...,«„ -, étant données d'avance, il existe une infinité 

 de congruences satisfaisant à l'équation caractéristique D; elles seront don- 

 nées par tous les systèmes d'intc'-grales {^u,, . . ., «„_,) satisfaisant au système 

 de « — 1 équations aux dérivées partielles du (n — i )'<""« ordre 



C. K., H,oS, 1" Semestre. (T. CXLVI, N' 8.) 



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