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a conduil Briol et Bonquel à énoncer le lliéorème suivant : 



Pour que Véqualion (3) admelle une intégrale holoninrphc dans le voisinage 

 de a; r=:o et s'annuloni pour x rr: o, il faut et il suffit que le nombre c/. sait un zéro 

 de la fonction entière ll('") donnée par la formule 



(4) il(,r)::=è„-h^.r + A.r=^- _^^3+...^ 1^ .r" + . . . . 



I 1.2 1.2.3 I . 2 . ci . . . /i 



2. J'.ii entrepris dos recherches pour obtenir une extension du théorème 

 de Briot et Bouquet au cas général et je suis arrivé aux résultais suivants : 



I. Si nous destituons i>(ir 



y, .r H- y, ,r- + . . . + y,,.^" + . . . 



le développement taylorien qiti satisfait formeUemeiil à Véqualion différen- 

 tielle (^\), la quantité y/y,, n'est jamais d'un ordre de grandeur supérieur à celui 

 de la quantité \l{n — i)\ = y/ 1 . 2 . 3 . . . ( « — i ) ; j entends par là que le rap- 

 port y^Y„ : y/(« — I )! ne tend jamais rcrs l'infini. 



II. Si nous supposons que les coefficients des séries, qui définissent les fonc- 

 tions B(a-), B,(a:), Bo(a;), ..., soient réels et négatifs, l'équation (i) ne 

 saurait admettre une intégrale holomorplw pour aucune valeur de a. 



La niétiiode que j'ai utilisée pour démontrer ce théorème met en lumière 

 la cause profonde du fait, d'après lequel le développement taylorien est, en 

 général, divergent, puisque la restriction que ce théorème II comporte ne 

 touche pas le fond du caractère fonctionnel et dilTérentiel des équations les 

 plus générales, que nous considérons ici. 



III. Si nous fixons tous les coefficienls de l'équation différentielle sauf a, 

 (pic nous considérons comme un paramètre, nous avons encore le théorème 

 suivant qui complète le théorème II : 



.Sï B , {x) = et si B (a-) est un polynôme , l 'équation diffère n lielle ( i ) ne sau- 

 rait admettre; une intégrale holomorphc dans te roisinage dex =^ o et s'annu- 

 laiU pour X =^ o que pour les valent s de 11=- qui annulent une fonction en- 

 tière g(u). L'ensemlde. donc, des valeurs de u pour lesquelles il y a une 

 intégrale holomorphe est dénotnbrable avec un point limite unique à l'infini. 



Il y a là une extension, dans une certaine mesure, du théorème cité de 

 Briot et Bouquet; d'autre part, nos résultats justifient, dans des cas très 

 étendus, l'assertion mentionnée plus liant, qui ne s'appuyail jusipi'ici que 

 sur des exemples très particuliers. 



