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i:'i qu'elles sont engendrées par des droites isotropes <|ui n'onl pas d'envc- 

 ioppe. rSous les appellerons surfaces {O,,) pour rappeler que tous leurs 

 points sont des ombilics et qu'elles ont une courbure. Toute surface gauche 

 à génératrices isotropes est une surface (O^). Une classe de sui-faces (O/,) 

 est constituée par les surfaces que .T.-A, Serret a fait connaître ( Journal de 

 LinuviUe. 1848) et qui résultent do la déformation de la sphère considérée 

 comme surface réglée. 



M. Scheflérs {Einfiïhrung in die Théorie der Flëchen. p. 'ii-j) a exprimé 

 les coordonnées des surfaces à génératrices isotropes par des formules d'où 

 il est aisé de faire disparaître les signes de quadrature dans le cas général, 

 mais non dans le cas des surfaces de Serret. M. Sliickel {Leipziger Be- 

 lic/de, 1902) a appelé l'attention suples deux nappes dont se compose l'en- 

 veloppe des sphères définies par Monge et dont chacune est engendrée par 

 l'une des deux génératrices isotropes qui sont comnuuies à deux envelop- 

 pées consécutives. 



II. On peut obtenir une représentation analytique générale et explicite 

 des surfaces (O;^) en employant les coordonnées tangentielles isotropes de 

 Bonnet (Darboux, Théorie des surfaces, t. I, p. 24'">)- Considérons, en effet, 

 le plan variable 



(a-l-[3)j7-H«([3 — aXv + (ai3 — 1)3-1-4 = 0, 



et soient />, r/, /•, .v, t les dérivées premières et secondes de ç par rapport à a 

 et à fl. La surface enveloppe de ce plan est déterminée par les équations 



(i) (a;3 + !):; = ? — jOa — yp. a; — (r =— (3^ — /), c -^ iy =— caz — q. 



Ses rayons de courbure principaux et ses centres de courbure princi- 

 paux sont fournis par les relations 



(2) 



2R=z(a(3-hi)(3 + .ç±\/7î), X — jY = — /. -H(3(i±v//-0, 



2Z = (aP -t- I ) = + («,3 — 1) (.s- ± \fFl), X -H /Y = — r/ -4- a i a ± sfrt). 



Pour les surfaces (O^), il faut supposer ri ^ o. Soit / = o, et par suite 



ç' = pA(a) + A„(a). 



Il y a ainsi une correspondance, que la théorie des transformations de con- 

 tact permetlail de prévoir, entre les surfaces à plan directeur et les sur- 

 faces (O^.). Les formules (i) donnent pour ces dernières surfaces les exprès- 



