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OU moins quelconques; si par exemple F désigne l'intégrale d'une équa- 

 tion différentielle, on pourra étendre immédiatement à tout le pian l'inté- 

 grale locale constituée par un développement taylorien puisque la connais- 

 sance de celui-ci et la connaissance des polynômes s„ ne font qu'une seule et 

 même chose. 



Soient /(^) une fonction entière et c„ le (n -+- i)'™*" terme de son dévelop- 

 pement taylorien en ^ valable dans tout le plan des ?. 



Dans le Bulletin des Sciences malhématiques (juin 1907) j'ai démon- 

 tré que 



Vc„5„= I ^ 



n = 





si I ^ I ■< p, \^x\<!^Dr. C est le cercle de rayon r qui ne contient aucun o^ 

 etr est un cercle de rayon p tout à fait quelconque, puisque /"est une fonc- 

 tion entière. Dans ces conditions les inégalités précédentes n'empêchent 

 pas ^ et a; d'être quelconques. Appliquant encore la théorie des résidus à la 

 dernière intégrale obtenue, il vient finalement (loc. cil.) 



n=0 A 



Il s'agit maintenant dans le second membre ainsi obtenu de faire dispa- 

 raître le second sigma. Il semble qu'on puisse obtenir cela de bien des 

 manières." 



On peut choisir / de manière que le rapport de /( — ) 'a J'{\) tende 



vers zéro quand \ tend vers une certaine limite (l'infini par exemple). 



Cette méthode redonne les résultats de M. Borel où n'interviennent que 

 des fonctions sommatrices /dépourvues de zéros. 



Considérons au contraire une fonclion f ayant des zéros distribués dans 

 tout le plan et prenons même, pour fixer les idées, la fonction a* de Weier- 

 strass ayant pour zéros tous les sommets du quadrillage orthogonal formé 

 par les axes et des parallèles à ceux-ci d'abscisses et d'ordonnées ± 2, ± 4, 

 ±6,.... 



Admettons d'abord, pour plus de simplicité, que F(.2;) soit une fraction 

 rationnelle de pôles a,, a^, . .., a„. Divisons l'unité de longueur en p parties 



