SÉANCE DU 23 MARS 1908. 621 



miner la fij^ure d'oquilibre d'une plaque élastique encastrée, le problème 

 biharmoniqup peut être énoncé de la façon suivante : 



Déterminer une fonction n-, biharmonifjue à l'intérieur d'un domaine 

 donné (^D), de façon que les valeurs [lérip/iériques de celle fonction, ainsi que 

 celles de ses dérivées du premier ordre, coïncident avec les éléments analogues 

 relatifs à une fonction donnée ip. 



Bornons-nous, pour plus de simplicité, au cas du plan et posons 



Sauf quelques restrictions d'une nature extrêmement générale, la déter- 

 mination de la fonction r, et, par conséquent, celle de la fonction w elle- 

 même, dépend alors d'un proiilème que j'appellerai problème intermédiaire 

 et dont voici l'énoncé : 



Étant donnée une fonction tj/, telle que l'intégrale 

 (I) f ^'dz, 



oii dz représente l'élément d'aire, ail un sens, déterminer une fonction v, har- 

 monique à l'intérieur du domaine (D), telle que l'intégrale 



f v^ck 



ait une valeur finie et telle, en outre, que, pour toute fonction h, harmonique 

 à l'intérieur du domaine considéré, on ait 



Jvhd7= I ij/ /t dz, 

 pourvu que l'intégrale 





ne soit pas dépourvue de signification . 



On démontre facilement, a priori, que le problème précédent admet au 

 plus une seule solution. 



Pour le cercle, la solution du problème intermédiaire est immédiate. 



