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de substitutions linéaires) pour lesquels chaque groupe trouvé reste inaltéré. 

 Chaque groupe est ramené à sa forme l'éduite. Dans la première famille, les 

 deux transformations génératrices sont échangeables; elles ne sont pas 

 échangeables dans la deuxième famille. Pour chaque groupe, je donne les 

 équations finies du groupe. Le (Chapitre IV traite de la première famille des 

 groupes à trois paramètres (les transformations génératrices sont échan- 

 geables). Le Chapitre V est consacré à la structure (X, Y) = «Y, (Z,X) = o, 

 (Z, Y) = bY; le Chapitre VI, à la structure (X, Z) = aX, (Y, Z) =-- pX + -Y, 

 (X,Y) = o; le Chapitre VII, à la structure (Y, Z) = tZ, (Z,X) = p\, 

 (X, Y) = crX, avec pa ^ o. Je signale le groupe 



[3.r2/?, + fi.r,p.,-+- i-r;P:i, 3;r,/>, + .r./Jo — .r;,/),— 3xj/>4, .ViPi-h r.ps-h .r^p,,], 



dont j'ai cherché les équations finies. Le Chapitre VIII est consacré aux 

 groupes à quatre paramètres dont toutes les transformations sont échan- 

 geables. Dans le Chapitre IX, je reviens aux groupes à trois paramètres, 

 avec la structure (Y, Z) = o, (X, Z) = o, (X, Y) = aZ. 



Avec ce Chapitre se termine rénumération des groupes à trois paramétres. Le 

 Chapitre X est consacré, pour les groupes à quatre paramètres, à la struc- 

 ture (X, Y) = o, (X, T) = o, (Y, T) = o, (X, Z) = «Z, (Y, Z) = bZ, 

 (T, Z) = cZ, deux au moins des nombres a, b, c étant différents de zéro ; 

 le Chapitre XI, à la structure (Y, Z) = «Z, (X, Z) = bZ, (X, Y) = o, 

 (T, Z) = o, (T, Y) = o, (X, T) = cZ; le Chapitre XII, à la structure 

 (X,Y) = o,(X,Z) = o,(Y,Z) = o,(X_,T) = o,(Y,T)=.o,(Z,T) = «X. 

 Dans le Chapitre XIII, très court, j'établis seulement les structures possibles 

 pour le cas des groupes à quatre paramètres dont le groupe dérivé est à 

 deux paramètres. 



J'arrive à la deuxième Partie; il s'agit de trouver un système de m équa- 

 tions aux dérivées partielles du premier ordre (m > 4) des quatre fonctions X, 

 Y, Z, T, des variables ne, y, z et /, telles que, si ?, y], ^, t désignent un 

 deuxième système de solutions également arbitraires, X, Y, Z, T considérées 

 comme fonctions de ^, yj, '(, t soient encore un système de solutions du 

 même système d'équations aux dérivées partielles (voir le Mémoire de 

 M. E. PrcARn, Journal de Liouville, t. VIII, /f série, 1892). A chacun des 

 groupes trouvés dans la première Partie correspond un tel système d'équa- 

 tions aux dérivées partielles. J'ai donc pris un par un les 586 groupes trouvés 

 dans la première Partie, et j'ai cherché le système d'équations aux dérivées 

 partielles correspondant. J'ai intégré, en général, les systèmes obtenus, ce qui 

 m'a fourni des groupes continus finis ou infinis, .l'ai opéré sur les formes 



