SÉANCE DU 6 AVRlt. 1908. 7^1 



un facteur fonction de u seulement. Comme on a visiblement 



on aura aussi 



«'-' -^- K' -+- (^7 = o- 



Ainsi les lignes u = const. correspondent à une fauiillo de lignes miniina 

 de la représentation sphérique. Or, si l'on se reporte à imc indication 

 donnée par M. Darboux (Théorie des surfaces, t. I, p. 213), on reconnaît 

 aisément qu'il existe sur toute surface deux réseaux conjuj^ués, composés 

 chacun d'une famille de courbes ayant précisément cette délinition (') et 

 d'une famille de lignes minima de la surface. Nous les appellerons réseaux 

 conjugués isotropes. 



111. On peut établir que les surfaces (S) définies plus haut sont les seules 

 pour lesquelles un réseau conjugué isotrope soit un réseau conjugué per- 

 sistant. En effet, chaque ligne u = const. étant une génératrice rectiiigne 

 de la sphère de Gauss, les points de cette génératrice sont dans un plan 

 isotrope qui contient le centre de la sphère : leurs coordonnées a, h, c véri- 

 fient donc une équation linéaire et homogène dont les coefficients sont des 

 fonctions de u. Par suite, en vertu d'un théorème dû à M. Goursat (Amer. 

 Journ. of Mathematics, t. XVllI, 1H96), l'équation du second ordre ([ue 

 vérifient «, h, c est du second rang. Comme elle doit avoir ses invariants 

 égaux, elle revient, quand on lui donne la forme de Moutard, précisément 

 à ré<[uation (E) considérée ci-dessus. Il faut alors trouver trois fonctions 

 /, m, n vérifiant cette équation et telles que l'on ail à la fois 



/2+ w2+„'-=U(«) -H V(c), 



On déduit de là que la fonction V doit se réduire à une constante et il 



reste 



i'- -\- m- -t- «2 = U, /;.2 -(- ??c -+- «;.' = o- 



(') Ce sont des courbes de conlacl de cylindres circonsciits (à génératrices iso- 

 tropes), de sorte que les réseaux conjugués persistants que nous déterminons ici com- 

 plètent l'élude récemment faite par M. E^^orotî (Comptes rendus, t. CXLV, 16 déc. 1907) 

 des réseaux conjugués persistants dont une famille est formée par des courbes de con- 

 lacl de cônes circonscrits. 



C. R., 1908, I" Semestre, (T. CXLVI, N° 14.) 98 



