SÉANCE DU 27 AVRIL IÇ)o8. 883 



OÙ «, h^ c sont trois constantes. Cette relation n'a rien de particulièrement 

 intéressant ; elle montre toutefois qu'il sera impossible de choisir arhitraire- 

 nR'ul Tune ou l'autre des courbes (C), (C') avec lesquelles se construit 

 notre première solution. 



Si la courbe (C) satisfait à une ou deux équations de la forme précé- 

 dente, elle fournira une ou deux solutions de notre problème. 



Elle ne peut satisfaire à trois solutions de ce genre que si p et t sont con- 

 stants, c'csl-à-dire si elle est une hélice. Dans ce cas, nous sei'ons conduits ' 

 à »me solution qu'on peut caractériser comme il suit : donnons à un corps 

 solide quelconque un mouvement hélicoïdal. Tout segment MM' de ce corps 

 se déplace de manière que les hélices décrites par ses extrémités soient dans 

 la relation qui fait l'objet de ce travail. 



Examinons maintenant le cas écarté dans la recherche précédente, où les 

 courbes (C), (C) seraient normales à la droite MM'. Alors l'élément 

 linéaire do la surface réglée (R) ne sera plus défini. Si on le met sous la 



forme 



rf.v2 z= du'- +[(« — «)-+ 3- ] <-/('-, 



on verra facilement qu'on aura seulement entre a et |B la relation 



(32 -I- ( a — a) ( a — «' ) = i!< ;3, 



où a, a', I> sont trois constantes. Mais, comme on peut toujours, par de 

 simples quadratures, trouver les surfaces réglées admettant cet élément 

 linéaire, on voit qu'on pourra, à l'aide de simples signes de quadratures, 

 écrire la solution générale de notre problème. Je reviendrai plus loin sur ce 

 point. 



Mais ce qu'il y a de plus intéressant, c'est qu'ici on pourra prendre wbi- 

 trairemcnl l'une des courbes, (Cj par exemple. Alors Ja détermination 

 de (C') dépenc^ra de l'intégration d'une équation de Riccati de la forme 



suivante : 



l'fe I . ,, sin cî 



-; = A -t- B , 



as - 



OÙ -, ; et .V désignent les courbures el l'arc de la courbe ( C i. Un seradonc 



conduit à une méthode générale de transformation applicable à une courbe 

 quelco/npte (C), et permettant d'en déduire une suite illimitée de courbes nou- 

 i'clles. 



On se trouve ainsi en présence d'une série de problèmes analogues à ceux 

 qu'on rencontre dans l'élude des transformations des surfaces à courbure 



