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constante. On lira leur étude complète dans le Mémoire développé, (jui 

 paraîtra dans le Recueil de l'Académie. Je me bornerai ici à quelques-uns 

 des résultats que j'ai obtenus. 



J ai été conduit à examiner si un quadrilatère, dont les côtés 

 demeurent invariables, peut se déformer de telle manière que ses 

 dièdres demeurent, eux aussi, invariables. On reconnaît que cela ne peut 

 arriver que .si le quadrilatère est un parallélof^ramme gauche, c'est-à-dire 

 si ses côtés opposés sont égaux. Alors les rapports des sinus des dièdres du 

 quadrilatère à leurs arêtes sont égaux en valeur absolue; et il suffit qu'un 

 des dièdres soil constant pour qu'il en soit de même de tous les autres. On 

 est ainsi conduit au parallélogramme gauche qui se pi'ésente dans l'étude 

 de la transformation de M. Backlund, faite par M. Blanchi. 



La suite de la recherche m'a aussi conduit à examiner si un quadrilatère 

 ijivariable peut se déformer de telle manière que chaque sommet décrive 

 une courbe normale aux deux côtés qui se croisent en ce point. 



En dehors de la solution banale fournie par (pialre trajectoires orthogo- 

 nales d'un plan mobile et par le quadrilatère plan invariable que forment 

 les pieds de ces trajectoires, j'ai obtenu la solution suivante qui m'a permis 

 de compléter le théorème, rappelé plus haut, de Laguerre : 



Soit ABCD le quadrilatère cherché. Ses deux diagonales AC, BD en- 

 gendrent des surfaces réglées (R), (R') (jui, l'une el l'autre, sont applicables 

 sur le même hyperboloïde de révolution (H ). Les pieds de la plus courte dis- 

 lance des diagonales AC et BD décrivent les lignes de striction des deux sur- 

 faces réglées qui sont, comme on sait, des courbes de Bertrand et qui ont, 

 l'une et l'autre, pour normale principale, la plus courte distance des diago- 

 nales. Ces deux diagonales sont des axes de rotation conjugués dans le mou- 

 vement de la figure invariable formée par le quadrilatère et les points centraux 

 des deux diagonales. 



L' hyperboloïde (H) est celui qui aurait pour -axe l'une des diagonales et 

 pour génératrice l'autre diagonale. Par exemple, l' hyperboloïde ayant AC 

 pour axe et BD pour génératrice se raccordera suivant cette génératrice avec 

 la surface (R'), sur laquelle il roulera. Il en sera de même, en ce qui con- 

 cerne (R), de r hyperboloïde ayant AC pour génératrice et BD pour axe, 

 hyperboloïde évidemment égal au précédent. 



La méthode que nous avons suivie dans la recherche précédente lie l'étude 

 de la question proposée à la considération de la surface réglée (R) sur la- 

 quelle sont tracées les courbes (C) et (C'). Dans le cas où ces courbes sont 



