9o6 ACADÉMIE DES SCIENCFS. 



sentera un quelconque des nombres m,, tWj. Je définis maintenant trois 

 fonctions numériques par les conditions suivantes : 



1° 4'('0 ^^""^ '^ somme des diviseurs de n inférieurs à y'n ; toutefois, si n est carré, 

 on ajoutera le terme -\/n. 



1° x('*) sera la somme ^ "^C — O^"^^') étendue à toutes les décompositions en fac- 

 teurs «=:ôo,, avec â < â, ; toutefois, si n est carré, xC") comprendra, en outre, le 



terme -\fn. 

 2 ' 



On a xC'*) ^^'M") P"""" " impair; et x('0 -— — 4'(") po"'' n ^ 2( mod4). 



rf + rf, 



3° «i)(/i) sera la somme ^ <^( — i) ' , étendue à toutes les décompositions 

 n ^ddi, où d et rf, sont de même parité, et rf< rf,. Toutefois, si « est carré, co(«) 



comprendra, en outre, le terme - y'«(^ i) 



Pour 



«^2(mod4), oj(/i):=o; 



rt ^ 3 (mod4), co(/i)=: — ^p(«); 

 «^i(mod4), w(«) = ip(n); 

 rt = 4(niod8), (,j(n)= — 2 (|;l -fi- 

 cela posé, on a les quatre formules générales qui suivent : 



< 



Au premier membre, la somme porte sur tous les couples de minima im- 

 pairs, m', des classes positives, de l'ordre propre, primitives ou non, de 



discriminant N; le symbole ( — j-) est celui de Jacobi. Au second membre, 



la somme s'étend aux valeurs entières de x-fo, telles que la quantité sous le 

 signe (0 s,oi\. positive . 



(2) 2;i'«'-'«l(^ =M--) ' ;^z(N-.r'). 



Au premier membre, la somme porte toujours sur les minima des classes 

 positives, de l'ordre propre, de discriminant N; |m' — m\ désigne la valeur 

 absolue de m' — m. 



