SÉANCE DU 'i MAI I908. 907 



Les mêmes remarques s'appliquent aux deux dernières formules, à savoir 



(3) V|„,'_„,|(_Z_i^) = .(-,)N-2;(-')-co(N-x'), 



.|o 



(4) 2('"' + '"^f-ïV-^l'"'--"'l(^) = (-'^ ' ' V4'[4N-(2.r + i)'] 



Ces formules donnent ainsi l'expression de chacune des quatre sommes 

 algébriques de minima 



i-'i^)' !>'"'- 



m\[ — r . yml^\, y\m—m 



m' / A>à \ m' I «^ ' '\m' — m 



à l'aide des deu.v seules fonctions numériques w(/î) et x(")' puisque 

 '-];( in + i) est égal à y (2/1 + 1). 



Ajoutons que, si N est un carré impair, «% parmi les réduites propres de 

 discriminant N figure /i(/r- -f- vM, dont les minima sont m^ = m^ = n\ 

 m = in : les termes correspondant à cette réduite dans les premiers 

 membres de nos formules doivent être divisés par 2. 



Vérifions, par exemple, la formule (i) pour N = 9. Les réduites (de 

 l'ordre propre) de discriminant 9 sont (i, o, 9); (2, i, 5); (3, o, 3), cette 

 dernière ne devant être comptée que pour - > par ce qui précède. Les minima 



impairs /«,, m^ de ces formes sont respectivement i, 9; 5, 5; 3, 3; et le 



3 3 

 premier membre de (1) est ainsi 14-9 + ^ + 5 > c'est-à-dire 17. 



Le second membre est 



2o.(9)-4-4'-o(8)-h4w(5)=2i+^+4[2] + 4[i] = i7, 



et la formule est vérifiée. 



IL Des relations précédentes on peut déduire quelques conséquences re- 

 lativement aux fonctions 'ji, y_, co. 



Par exemple, si N = 2(mod4), les symboles i — j et (-^j sont de 



signes contraires, de sorte que ^mi — ij = o. Calculant cette somme 

 par (4), (i) et (2), on arrive à la formule suivante : 



a|o x|o 



pour N ^ 2 (mod 4). 



