Io82 ACADÉMIE DES SCIENCES. 



OÙ les fonctions © ne contiennent pas les variables .v^, x.^, .. , .-r,,^., ni les 

 rapports ~, -v-^. •••> y^' - Les relations (7) et (8) forment un système 

 de n — I équations de Monge, comme le système (i). Nous y appliquerons 

 la méthode de M. Goursut. En posant y-^ = a, j'écris la relation qui corres- 

 pond à la relation (2) sous la forme 



dx' 



(9) _j_!!±i _^__^^,^j,_j_^^^,_,^(^.^^ a) +.. . + /)„cp„(j-|. a), 



ou encore sous la forme 



((o) /[.r, ST., 9;,(.r,, c), ..., ©„(.r,, a)] — /), —/).« — />, 9., (x,, y.) —...— p„o„{u-t,ct) = o. 



Le premier membre, évidemment, est ce que nous avons appelé plus haut a. 

 5. En difïérentiant successivement la relation (10) par rapport à a, on 

 obtiendra le système intermédiaire (3). Je fais maintenant la remarque que 

 les /( — 2 dernières de ces relations ne renferment pas les quantités /?,,yjo. 

 Cette renuuque me conduit à faire l'hypothèse qu'on peut faire l'élimina- 

 tion de a entre les relations (3) en remplaçant a par une fonction des quan- 

 tités Xt,p:,, p,,, . . ., j)„ dans la première, dans la deuxième et dans les « — 3 

 des autres relations du système (3). Nous aurons ainsi n — i relations de 

 la forme suivante : 



Pt-^ P^b-h/h'-i/A-'u b)+. .. 



+ Pn ?„(-a"i. b) — /[.-r,, h, ^^(.r,/»), 9j(a;,, 6), ..., cp„(.r,, b)'] =0, 



J93 Oo„ ôf df dw, _ df d'^n __ 



f'-^''' ~db '^-^^''^'ûb d^, db ■•■ ,h,. Ob ^°' 



/'' -jb: + °' 



à" 'o, 



■/':. -^T-^ -+- ^- O, 



;/ — 1 



ôb 



où h désigne la fonction des quantités x,, p.,, . . . , /j„ (jui remplace la quan- 

 liti'' a. 



6. Donc les relations (11) forment le système associé, si Ton considère 

 les a-,, .T.,, ..., x„ comme des variables indépendantes, a-„+, comme unt; 

 fonction de ces /; variables et/?,, p.,, ...,pn comme des dérivées partielles 

 de x,,^, par rapport à ces variables. 



Pour obtenir l'intégration du système |(7),(H)J comme nous l'enten- 

 dons, il suffit que le système (1 i) soit en involution, d'après ce qui précède. 



