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cette existence peut d'ailleurs s'établir d'une manière purement analytique, 

 comme je l'ai fait autrefois ( '). En supposant le flux égal à 2-, et en dési- 

 gnant par («', (') le point singulier, nous désignerons cette solution par 



(2) U(,/,c; «',<•'). 



On voit aisément que U est symétrique par rapport à (w, r) et (;/', c'). 



L'étude de l'équation (i) et de quelques équations qui s'en déduisent, 

 comme celle de beaucoup d'autres problèmes analogues, est devenue parti- 

 culièrement simple depuis les travaux de Fredholm sur une certaine équa- 

 tion fonctionnelle. Ayant eu récemment l'occasion d'étudier ces questions 

 dans mon cours, j'indiquerai sous quelle forme j'ai présenté leur solution. 



2. Au lieu de l'équation {1), envisageais l'équation avec le paramètre X 



(3) AV = Àcv/EG- 1»V, 



et cherchons s'il existe une intégrale V de cette équation partout continue 

 sur la surface. J'envisage à cet effet une autre équation de la forme (i) 



(4) AU=c,v/EG-F»U, 



mais où c, est une fonction positive sur la surface, qui peut être différente 

 de c. Soit U(m, c; «',t'') la solution analogue à (2) et relative à l'équa- 

 tion (4). 



On montre sans peine, en appliquant la formule de Green étendue à une 

 surface fermée quelconque rendue simplement connexe- comme dans la 

 théorie des surfaces de Riemann, (jue Y satisfait à l'équation fonctionnelle 



(5) 2t:V(m', (/)+ r/(>,c — c-, )U((/,r; i/',i'')\'(u, (•)af(7 = o, 



OÙ fh est l'élément de surface \JEG — F^ diidv. D'ailleurs, au point de vue 

 de la recherche des fonctions V partout continues, l'équation (,)) est équi- 

 valente à l'équation (3). 



Le plus simple, au moins théoriquement, est de prendre c, = c, et l'on a 

 alors une équation de Fredholm 



27tV(«',('')-t-(X — 1) f fc(u,v)V{u, c; w', (-') V(«, f)rfa=ro, 

 équation d'un type très simple, à cause de la symétrie de la fonction Lî. 



C) Sur l'équilibre calorifique d'une sur/ace fermée rayonnant au dehors 

 {Comptes rendus, 5 juin 1900). 



