SÉANCR nu iS JUIN 1908. 1233 



Pour X quelconque, l'équation piécédenle n'a d'autre solution que V = o; 

 mais il y a une. in/inité de valeurs sinf^nlières réelles et négatives, pour les- 

 ([iiolles il y aura d'autres solutions, et pour lesquelles, par suite, l'équa- 

 tion (3) aura une ou plusieurs solutions continues sur toute la surface et 

 non identiquement nulles (X = o est une valeur singulière). 



.3. Désignons par X„ une valeur singulière, pour laquelle l'équation (3) 

 ait V solutions linéairement indépendantes 



V, ((/,(■), V,(//, r), ..., Vv(«,i'). 



Prenons l'équation en 11, 



(6) AH = ).„cv/KG- F'H + î.(«,i')v'EG — F=. 



Si V est une fonction continue prise arbitrairement, l'équation précé- 

 dente n'admettra pas pour H de solution continue sur toute la surface. La 

 condition nécessaire et suffisante pour (ju'il en soit ainsi s'expriu\e par les 



égalités 



// 



V,(U, t')cp(«,l')rf(7 = (t = I,2, ...,V). 



On peut l'établir en remplaçant l'équation (6) par une équation de 

 Fredbolni avec second membre, avec valeur singulière pour le paramètre, 

 et en écrivant les conditions pour que cette équation ail une solution. Ceci 

 est facile, car les solutions de l'équation associée figurant dans ces conditions 

 sont 



c(m, r) V,(«, c) (t = i, 2, . . ., v). 



4. Le résultat précédent permet de traiter une question relative aux inté- 

 grales de l'équation 



& 



AW = XcVEG-F'W 



ayant un certain nombre de points singuliers logarithmiques (du type des 

 sources de chaleur). Si A n'est pas une valeur singulière, les points singu- 

 liers et les coefficients relatifs au flux qui leur correspondent peuvent être 

 (juelconques. Mais soit A„ une valeur singulière. Les conditions nécessaires 

 et suflisantes pour que l'équation 



(7) AW = X„cv/EG — F^W 



admette une intégrale ayant les points singuliers 



(a,, 6,), («î, ^j), ..., (rt„, 6„) 



