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avec les coefficients correspondants 



A , , A 2 , . . . , A„ 



s'expriment [)ar les v relations 



A,V,.(a,,6,) -h AjV,(rt2, ù,)-h.. .-h A„V,(o„, 6„)=:o (< = r,2, ...,v), 



les V,- correspondant, bien entendu, comme dans le paragraphe précédent, 

 à la valeur singulière X„. 



En particulier, pour la solution \g ^ o, on a v = i et V se réduit à une 

 constante; d'où la condition connue 



A, + Aj-i-...-i- A„ = o, 



qui exprime que le flux total de chaleur est nul, l'équation (7) se réduisant 

 alors à l'équilibre de température sans rayonnement extérieur. 



5. L'application la plus simple est relative à la sphère de rayon un, en 

 prenant c = i . L'équation (3) est alors 



(8) cose^ + s,n5-^ + __^U.n6V, 



en se servant des coordonnées polaires et ]/ sur la sphère, et l'on a depuis 

 longtemps remarqué que pour 



^= — n{n-hi) (« enlier positif) 



"elle se confondait avec l'équation relative aux fonctions V„ de Laplace. On 

 peut voir qu'il n'y a pas d'autres valeurs singulières deX en envisageant une 

 fonction V(0, .[;) uniforme et continue sur la sphère et satisfaisant à l'équa- 

 tion (8) pour X = X„, et la fonction harmonique dans la sphère prenant ces 

 valeurs sur la sphère. La formule de Poisson montre aisément que, si A„ 

 n'est pas de la forme — /((w-f-i), cette fonction harmonique sera identi- 

 quement nulle, et par suite aussi V(0, ']>). Des considérations analogues 

 montrent d'ailleurs que, si A,, a la forme indiquée, l'équation différentielle 

 n'aura d'autres solutions uniformes et continues linéairement indépendantes 

 que les 2n -hi fonctions Y„ de Laplace correspondant à cette valeur de n. 



Le cas du tore est à examiner après celui de la sphère. Je ne sais si le pro- 

 blème qui nous occupe a été approfondi dans ce cas. En désignant par r le 

 rayon du cercle méridien et R la distance de son centre à Taxe, l'équation 

 est ici 



I ^'V . dW d-\ 



- (R — /• C05u)^^r— - 4- sintp(R — ;■ cosq;) \- r—mr = X ( R — /• coso) /V, 



