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celles conditions pour l'existence de a sont que x = i ou 2, que [3 =^ a si 

 « = j3a, que '^ ^ v. si a = ^a et que q^ soit pair dans les quatre cas suivants : 

 TOy^ pair avec a=: a, 5/ = i ; Wq^ impair avec a = — a, st = i-^ m^ pair avec 

 a = y.a, ^ = i; /ng^ impair avec a = a«, s = - 1 (les conditions relatives à 

 a ^ ±a, a ^ oca ont été trouvées tout autrement par Kronecker et M. Fro- 

 benius quand p = a). 



Comme ccac/. = a résulte de a = aa, et aaa := « de a = ar/, on trouve 

 aisément ainsi toutes les solutions a de a = y.a ou a = v.a, même celles où 

 |rt| = o, ce qui complète les recherches de M. Voss {S. A. M., t. XXYI, 

 p. 21 1-272). 



."». On peut toujours annuler les .1,^, où p 7^ a- et, par suite, supposer 

 w = 1 . Pour a = ± a et a ^ a on arrive à des formes réduites analogues à 

 celles de M. Jordan pour a = a {J. M., 1888). 



Soit a = aa. .SV s =^ i avec /n, = 21;. — i, on peut annuler tous les A'-' où 

 i ^j et les a'/i où k et / sont <![-«•; la matrice des a{^ où k ^= i , . . ., jj. et 

 / ^ pi, . . ., m, se réduit alors au premier type (à un facteur près). Si s = — i 

 et /«, = 3 [k, on peut annuler les A'^ où / ^j ci les aj// où k <^ [i. et /£ p. ; la 

 matrice des aj/^ où k = \ , . . ., u. et / = ijh- i , . . ., m, est alors (à un facteur 

 près) la somme de deux matrices d'ordre p., l'une du premier, l'autre du 

 second type. Dans tous les autres cas, on annulera les A'^ où ilj sauf les 

 j\2y-i,2; qu'on réduit au premier type : les A'^ où i'^J sont déterminés par 

 les antres d'après a=^ %a. 



Si a = a«, on obtient des résultats analogues, eu prenant toutefois as' 

 pour a lorsque \s\ = 1 . 



4. Si £ est quelconque (je supposerai alors que p=a si a ^=±a oua= ^a 

 et ([ue j3 = a si a^a ou a = [ia), après la léduction d'une forme bilinéaire 



jouant le rôle de A|'", réduction qui dépend de S, on est toujours ramené à 

 l'un des problèmes précédents dans le champ ik. 



5. Le cas où a est une forme quadratique inaltérée par a, s ayant le 

 module 2, se ramène au cas des formes hermilienncs, sauf que celles des 

 condilions a{-^ = a^-'^^, -+- a;^!,^ où figure un élément de la diagonale sont 

 remplacées par d'autres. On voit alors facilement la forme du changement 

 de variables qui canonise a; et la forme (pie prend a permet d'appliqu(M- de 

 suite le critère de M. Dickson à la démonstration du théorème de M. Jor- 

 dan (./. M., i()<)5) sur les substitutions paires, s ayant l'ordre ■^'', K^i. 



