SÉANCE UU if) JUIN 1908. 12 '19 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur léc/uonon aux dérivées partielles des 

 metnhrarus ribrantes, iNole de M, S. {Samei.kvk 1, présentée par 

 M. 1:. Picard. 



1. On connail I inl(''rèl qui s'allachc, en IMiysiquc tnaihéinalifjnc. à 

 l'équation 



(I) lu-^rl\{x,y)u = o (^A=^ + ^). 



L'un des problèmes fondamentaux (jui se posent est d'en eherclier une 

 inlégrale continue ainsi que ses dérivées premières dans un domaine fermé 

 simplement connere (il) et s annulant sur sa frontière (]. 



La l'onclion df)nnée A( a?, y) étant supposée /J05i/«W' dans ce domaine, le 

 problème a été résolu surtout [>ar les recherches de Schwarz cl de 

 MM. Picard et l'oincan'". 11 a été établi que l'intégration de(i) dans les 

 conditions voulues n'est [)ossihle que pour une infinité discontinue de va- 

 leurs positives de A, les « constantes caractéristiques >), qu'on peut trouver 

 |)ar un calcul réL;ulier. 



Dans les reeherciies citées, l'hypothèse A(x, y)'^ o est essentielle. Il 

 n'eviste, à ma connaissance, d'autre essai de s'affranchir de cette supposi- 

 tion restrictive que celui de M. \li\son (Journal de Jordan, jc)o4), qui, par 

 certaines considérations de minimum, se borne simplement à démontrer 

 l'existence des constantes caraclérisliques, sans nous apprendre à les cal- 

 culer effectivement. Or, eu rattachant cette question à la théorie des é(pia- 

 tions intégrales, j'ai [lu i''liminer des raisonnements toute hy[)0lhèse sui- le 

 signe de A(a-, y ). 



2. Soient G(a7, v;H, r^) \;\ Jnnclion de Cree/i atlaciiée au conloin- C, 

 et u^(x,y) la fonction iiarmonifjue picuanl sni" (] une succession donnée 

 de valeurs; l'inl(''graliou de (1) moyennaul la cnndiliou a = «„ (sur(^) est 

 ramenée à l'équation de Fredholm, 



(2; 



Il (a-, y)— — / C.{x,y;'i.,ri) \{:.,ri)i'{i,-o)didr, — «„(,/•, j). 



L'intégrale cherchée est donc une l'onclion nK'romoi'phe di' A, dont les 

 pôles se trouvent parmi les « couslaules (■aractérisli(pies » de ( i ). ( )n dé- 

 nidulie aisément cpie ces couslautes sont réelles et cpie les [x'jIcs de u(x,y) 

 sont simples. 



