laSo ACADÉMIE DES SCIENCES. 



Pour d(!'inonlrer rexislence effective cl en nombre infini des conslanles 

 caractéristiques, soit, en mettant en évidence le paramètre, 



(3) u{a^, Y ■,l) = ii^ija, y) -h l II t(j;, v) -h l- ii,(jr, j) +. . .-hl" ii„(j-, y) + 



Les fonctions u„(.T,y) se calculent par les formules récurrentes 



(4) A//„+ A(x, j) «„_r— o, «„ = osui-C (« = i,2, ...)■ 



Si nous démontrons que la r.érie (3) est à convergence limitée, l'existence 

 d'au moins une constante caractéristique sera étalilie. Or, considérons la 

 fonction 



(R) 



Elle est méromorphe et n'admet d'autres pôles que ceux de u(x, y; A). 

 Développons-la autour de X = o : 



(5) <^{}.)=,'^l"^v,„ .r„= f J Ai.r, y) „,(.r, y) ii„{.r, y) d.v i/y. 



"' Il 



La formule 



-mm -mi 



d.r dy 

 . I \ ('^>- J \ oy ] \ 



(11) 



montre que les constantes w à indice impair sont positives; on en conclut, 

 par le procédé de Schwarz, qu'on a 



— <—<...< — ^^ < . 

 (!•, IV., (!',„_, 



Ces inégalités prouvent que les séries ( ^) et (3) sont à convergence limitée. 

 3. lléciproquement, soient A, la « constante caractéristique « la plus petite 

 en valeur absolue (ou l'une d'elles ) et :=, les intégrales correspondantes : 



A>-/+>,iA(./-, r) --,— o, j,= osurG (/ = i , 2, . . . , />). 



La succession de valeurs le lo/ig de C étant quelconque, les séries (3) et (5) 

 divergent pour \\\ > |A, |. Il suffit pour cela qu'on n'ait pas 



/ 1 A{x, y) Zi{x, y) u„{x, y) dx dy = o, c'est-à-dire j u„^^ds=zo, 



(11) '■ 



-r- désiiinant la dérivée suivant la noi'uiale intérieure à (]. 



dn '^ 



