SÉANCE DU 29 JUIN 1908. l38l 



GÉOMÉTRIE INFINITÉSIMALE. — Sur les surfaces réglées. 

 Note de M. A. Demoulin. 



Envisageons une surface réglée assujellie à la seule condition que son 

 cône directeur ne soit ni un cône isotrope, ni un plan isotrope. Une géné- 

 ratrice variable ^J de cette surface admet, en général, un point central O; 

 attachons-lui un trièdre trirectangle Oxyz défini comme il suit : Os coïn- 

 cide avec g et le plan aOs touche en O la surface. Désignons, suivant 

 l'usage, par ^, y], Ç, /;, q, r les translations et les rotations du trièdre; ce 

 sont des fonctions d'une variable i; deux d'entre elles sont nulles, à savoir q 

 et r,. l'our (jue la rotation r soit nulle, il faut et il suffit que la surface ail un 

 plan directeur. 



Les ({uadri(]ues qui se raccordent à la surface réglée suivant la généra- 

 trice g sont définies par l'équation 



2 jcr := A x' -i- 2 B xy -h Cy- ■+- 2 II y, 



dans laquelle A, B, C sont des paramètres arbitraires et h le paramètre de 

 distribution de g. 



La quadrique osculatrice répond aux valeurs suivantes de A, B, C : 



A:=- Ht' '^ = — -77' C=-- 



/' ; 2£ (Il p 



Supposons d'abord r^o\ alors cette quadrique a un centre C dont les 

 coordonnées (a-'^, j^, ;„) ont pour valeurs 



c I dh 



x,^.o, y,^p =o=~-^- 



On conclut de là que le centre de la quadrique osculatrice appartient à la 

 caractéristique du plan asymptote de g. 



Les composantes ^\, , ^'^.^, V.^ de la vitesse du point C sont données par 

 les formules 



Si l'on désigne par — 1*^ le produit des carrés des demi-a.xes de la qua- 

 drique osculatrice, on peut écrire P =yili. 



La caractéristique de la quadrique osculatrice se compose de la généra- 



